На протяжении диагоналей ас прямоугольник. абсд отложены равные отрезки ам и ск. доказать что мвкд параллелограмм.

треугольник авм = треугольнику сдк (по двум сторонам и углу между ними), т.к.

ам = ск (по условию)

ав = сд (как противоположные стороны прямоугольника)

угол вам = углу дск (как внешние накрест лежащие при ав//сд и сек мк)

 

из равенства треугольников следует, что 

ав = дк

угол вма = углу дкс - накрест лежащие, значит ав//дк

 

=> мвкд - параллелограмм

(допустим) дано: ∠amk =  45 °  ;     ||  ∠amh || ∠akm  =  60°  ;   ||  ∠akh   || ah   ⊥ a     ;         ||  ∠ahm=∠ahk =90°  ||   (  k,  m ,  h  ∈ a ) ;     ah =6 см . am -? ,  ak- ? , mk -? из   δahm:   mh =  ah =6 см (т.к.  ∠mah  =90°-∠amk =90°-  45°=45°⇒mh=ah)  и   am  =√ (mh²  +  ah²) =√(2ah²)=ah√2 =6√2  см   (теореме пифагора). из   δkah  :   ∠kah  =90°-∠akh  =  90°-  60°=30°  ⇒ hk =ak/2(катет против острого  угла 30 ° ) по теореме пифагора : ah=√(ak² -  hk²) =√(ak²  -  ak ²  /4) =(ak√3)/2⇒ ak=2*ah/√3=2*6/√3 =4√3 ( см)  hk =ak/2    =2√3 см .  если : a) m   и  k    лежат    разные стороны от  ah   ( наверно) : mk =  mh +hk =  (6 +  2 √3  )  см   b) m   и  k лежат по одну    сторону  от  ah : mk =  mh -hk =(6 -  2√3  )  см . ответ:     am  =6√2  см ;   ak=4√3 см ;   mk =  (6  ±  2√3)  см .

площадь четырехугольника можно найти половиной произведения диагоналей, умноженного на синус любого угла между ними (т.к.синусы смежных углов равны).

s=d1•d2•sin  α: 2, где d1 и d2 - диагонали ( они у прямоугольника равны),    α  - угол между диагоналями. 

  прямоугольник - четырехугольник, и его площадь тоже можно найти через диагонали. 

  наибольшим синус угла между диагоналями   будет  у квадрата, т.к. его диагонали пересекаются под прямым углом, синус которого равен 1. 

а) s1=11²•1: 2 =121: 2=60,5 см²

б) s2=3²•1: 2=4,5  дм²