Сумма обеих координат точки m(x, y) лежащей на плоскости, равна 6. на каком минимальном расстоянии может находиться от начала координат такая точка?

Это задача на наименьшее(наибольшее) значение функции.Принцип решения: а) ввести х
                  б) остальные неизвестные величины выразить через х
                  в) составить формулу функции, минимальное( максимальное ) значение которой  в задаче имеется.
                   г) исследовaть её на min (max)
Пусть разговор идёт про точку М. Её координаты буду х  и  (6 - х)
Расстoяние от начала координат =|ОМ|. Именно ОМ должно быть минимальным. ОМ является функцией от х. Надо ОМ найти. Будем искать по т.Пифагора.
 ОМ² = х² + (6 - х)² ⇒ ОМ = √(х² + 36 -12х +х²) = √(2х² -12х + 36)
Значит, у = √(2х² -12х + 36)
Проведём исследование этой функции на min
Производная = 1/2√(2х² -12х + 36)  · ( 4х - 12)
Приравниваем её к нулю. Ищем критические точки
 1/2√(2х² -12х + 36)  · ( 4х - 12) = 0⇒ 4х - 12 = 0⇒ 4х = 12⇒х = 3
(2х² -12х + 36≠0)
-∞         -        3        +         +∞  
Смотрим знаки производной слева от 3 и справа
Производная меняет свой знак с " - "  на " + " ⇒ х = 3 - это точка минимума.
ответ: точка М имеет координаты (3;3), ОМ = √(9 + 9) = √18 = 3√2

Рассмотрим две пересекающиеся в точке M прямые a и b. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, назовем её P.
Проведем прямую c, которая пересекает прямые a и b в точках A и B соответственно.
A принадлежит a -> A принадлежит P
B принадлежит b -> B принадлежит P
-> прямая c лежит в плоскости P

с - произвольная прямая -> все прямые, которые пересекают a и b и не проходят через M - точку пересечения прямых a и  b лежат с этими прямыми в одной плоскости.

Теперь рассмотрим случай, когда прямые проходят через точку пересечения M прямых a и b.

Возьмем произвольную точку N, которая не лежит в плоскости P и проведем прямую через точки N и M.

Прямая NM не принадлежит плоскости P.

Итак, основной вывод.

Прямые, которые пересекают две пересекающиеся прямые и не проходят через их точку пересечения всегда лежат с этими прямыми в одной плоскости.
Те прямые, которые проходят через точку пересечения пересекающихся прямых не всегда лежат с ними в одной плоскости.

1 Пусть по условию дано два смежных угла — ∠1 и ∠2.

1. Так как ∠1 и ∠2 смежные, то их сумма равна 180°:

∠1 + ∠2 = 180°.

2. По условию дано, что восьмая часть ∠1 и три четверти ∠2 в сумме составляют прямой угол. Прямой угол — это угол, равный 90°. Таким образом:

∠1/8 + (3 * ∠2)/4 = 90°.

3. Обозначим ∠1 как x, а ∠2 как y. Получим систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

x + y = 180°;

x /8 + (3 * y)/4 = 90°.

В первом уравнении выразим x через y:

x = 180° - y.

Полученное выражение подставим во второе уравнение:

(180° - y)/8 + (3 * y)/4 = 90°;

(180° - y + 2 * 3 * y)/8 = 90°;

(180° - y + 6 * y)/8 = 90°;

(180° + 5 * y)/8 = 90°;

180° + 5 * y = 8 * 90° (по пропорции);

5 * y = 720° - 180°;

5 * y = 540°;

y = 540°/5;

y = 108°.

Найдем значение x:

x = 180° - y = 180° - 108° = 72°.

Таким образом:

∠1 = x = 72°;

∠2 = y = 108°.

4. Найдем разность двух смежных углов:

∠2 - ∠1 = 108° - 72° = 36°.

ответ: 36°.

5а+а=180

меньший смежный угол равен

180/6=30

больший смежный угол равен

180-30=150

соответственно, биссектриса бОльшего угла делит этот угол одинаковые части по

150/2=75°

такой угол биссектриса большего угла составляей с ближайшей к ней стороной меньшего угла

Найдем угол, который биссектриса большего угла

составляет с дальней стороной меньшего угла, он равен

75+а=75+30=105