1)через вершину с прямоугольника авсd проведена прямая, параллельная диагонали вd и пересекающая прямую ав в точке м. через точку м проведена прямая параллельная диагонали ас и пересекающая прямую вс в точке n найдите периметр четырехугольника асмn, если диагональ вd равна 8 см. чертёж

.................................

Точка Е - середина КР⇒ КЕ=РЕ.

МЕ входит в периметры как ∆ МКЕ, так и ∆ МЕР, 13 см,  поэтому на самом деле 13 см - это разность между (МК+КЕ) и (МР+РЕ).

Вариант а) МР< МК+КЕ 

Пусть КЕ=ЕР=а. Тогда МК=2а

(2а+а)-(22+а)=13⇒ 2а-22=13⇒2а=35 см

МР=МК=35 см

---------

Вариант б) МР+ЕР > МК+ЕК

22+а-3а=13⇒2а=9 см

2а=9. В этом варианте не соблюдается неравенство треугольника, где наибольшая сторона треугольника не может быть больше  суммы двух других сторон или быть равна ей.

Следовательно,  боковые стороны этого треугольника равны 35 см

Количество диагоналей N, исходящих из одной вершины  многоугольника, находят  по формуле: 

N = n – 3, где n — число вершин многоугольника.. 

Для 12-ти угольника N=12-3=9. (См. рисунок приложения)

Самая длинная  диагональ  правильного двенадцатиугольника - диаметр описанной вокруг него окружности. 

Самая короткая  равна радиусу описанной окружности.

Если соединить вершины данного 12-угольника через две, получим квадрат ТВЕМ.  Диаметр описанной вокруг квадрата окружности равен диагонали квадрата. Сторона  ВЕ вписанного в окружность квадрата равна R√2 

Соединив вершины данного многоугольника через 3, получим правильный треугольник РВF.  В ∆ МВF угол MFB опирается на диаметр и равен 90°.  BM делит угол при вершине В пополам, МВF=30º, диагональ BF=ВМ•cos30º=2R•√3/2=R√3

Диагональ ВК- сторона равнобедренного ∆ NBK. NК равна стороне вписанного шестиугольника и равна R. Центральный угол NOK=60º, угол NBK как вписанный равен 30°. ВМ делит угол NBK пополам.  

В ∆ МВК угол ВКМ опирается на диаметр и равен 90°. ВК=2R•соs15º=R•(√3+1)/2√2 ( таково точное значение косинуса 15°).

Итак, длина диагоналей:

BD=BH=R

BE=BT=R√2

BM=2R

BF=BP=R √3

BK=BN=R•(√3+1)/2√2 

--------------

Из условия неясно, 8 см - радиус или длина окружности. Скорее всего,  R=8 см. Тогда в найденные длины диагоналей нужно вместо R подставить 8. 

Если 8 см=длина окружности, тогда из формулы С=2πR радиус R=4/π