Полной поверхности куба равна 96 см^2 найдите длину: а) диагонали куба б) диагонали грани куба

96/6=16 см.кв площадь одной грани
v16=4 см длина одного ребра
v(4^2+4^2)=v(16+16)=v32=4v2 см длина диагонали грани
v(4v2^2+4^2)=v(32+16)=v48=4v3 см длина диагонали куба

9 м и 12 м

Объяснение:

Пусть х - это гипотенуза, тогда (х-3) и (х-6) - катеты.

Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

х² = (х-3)² + (х-6)²

х² = х² - 6х + 9 + х² - 12х + 36

х² = 2х² - 18х + 45

х² - 18х + 45 = 0

х₁,₂ = 9 ±√(81-45) = 9 ±√36 = 9±6

х₁ = 9 + 6 = 15

х₂ = 9 - 6 = 3

Из полученных значений условию задачи удовлетворяет только х = 15 м, т.к. длины катетов могут быть выражены только положительными числами.

Следовательно, катеты прямоугольного треугольника равны:

15 - 3 = 12 м  и 15 - 6 = 9 м

ПРОВЕРКА:

12² + 9² = 144 + 81 = 225 - сумма квадратов катетов;

15² = 225 - квадрат гипотенузы;

225 = 225 - следовательно, задача решена верно.

ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 9 м и 12 м.

а) Постройте плоскость, проходящую через точки K, L и М - для этого надо просто соединить эти точки.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Продлим отрезки КМ и KL до пересечения с плоскостью АВС. Для этого достаточно продлить стороны АС и АВ.
Точки пресечения - это Д и Е.
Примем длину отрезка АК за 1.
Из треугольника АКД отрезок АД = 1 / tg 60 = 1 / √3.
Аналогично АЕ = 1 / tg 45 = = 1 / 1 = 1.
Угол ЕАД равен 60 градусов (по заданию).
По теореме косинусов 

Находим гипотенузы в треугольниках АКД и АКЕ.

КЕ = √(1²+1²) = √2 (острые углы по 45 градусов).
Теперь определены 3 стороны в треугольнике КЕД, угол наклона которого к плоскости АВС надо найти.
Для этого двугранный угол между основой и треугольником КДЕ надо рассечь плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения ЕД.
Находим высоты в треугольниках АЕД и КЕД по формуле:

АЕ         ДЕ                 АД                  p                      2p               S =
1    0.8694729    0.5773503    1.2234116    2.446823135     0.25
 haе              hде                 hад
 0.5          0.57506            0.86603 

       КЕ                ДЕ              КД              p                2p               S =
1.4142136   0.869473   1.154701   1.719194    3.43839    0.501492
       hке                hде                     hкд
0.7092           1.15356              0.86861.
Отношение высот hде и  hде  - это косинус искомого угла:
cos α = 0.57506 / 1.15356 =  0.498510913.
ответ: α = 1.048916149 радиан =  60.09846842°.