Дан тетраэдр abcd, ad перпен. ac, ad перпенд. ab, dc перпенд. cb, bc=4, ac=3. докажите, что ad перпенд. bc, bc перпендикadc) и найти площадь abc

дано: аd⊥ас, аd ⊥ав. если  прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.   

следовательно, аd перпендиулярна   плоскости авс. 

если прямая перпендикулярна к плоскости, то  она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.⇒ 

аd⊥вс 

  наклонная dс⊥вс по условию,  ас - проекция dс на плоскость авс. по т. о 3-х перпендикулярах ас⊥вс, и ∆ авс прямоугольный с прямым углом асв. 

  вс⊥dc ( дано), вс⊥ас ( найдено).  ⇒  вс перпендикулярна  двум пересекающимся прямым в плоскости adc, следовательно,   вс перпендикулярна плоскости аdc.

  площадь прямоугольного ∆ авс=ас•вс: 2=3•4: 2=6 (ед. площади)

1. если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую. 2. две плоскости не параллельны, если имеют общую прямую (пересекаются). 3. если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. 4. если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти вторые прямые являются пересекающимися. 5. через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость параллельная данной плоскости.

1) тр-ки cab и cpq подобны, поэтому cp/ca = pq/ab; cp/(cp + 4) = 9/12; cp = 12; ac = 16; 2) так как al - касательная, а ac - секущая, то  al^2 = ap*ac; al^2 = 16*4; al = 8; bl = 12 - 8 = 4; 3) осталось найти bc; кажется, что надо "раскручивать" все в обратном порядке для касательной bl и секущей bc; но есть способ на много проще. дело в том, что, поскольку хорда pq параллельна касательной ab, то точка l делит дугу pq пополам. это означает, что cl - биссектриса угла acb, и  cb/ca = bl/al; cb = ac/2 = 8;