Докажите что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом то он является квадратом

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, а раз сами диагонали равны, то и отрезки образовавшиеся в результате пересечения тоже равны. А раз они пересекаются под прямым углом, то все четыре угла, образовавшиеся в результате пересечения прямые, а следовательно и равные друг другу. Если мы рассмотрим четыре треугольника, катоые образованы пересечением диагоналей и сторонами прямоугольника, то заметим, что они равны по двум сторонам и углу между ними. На основании равенства треугольников делаем вывод о равенстве сторон прямоугольника, а значит прямоугольник => квадрат

 пусть E -- точка пересечения диагоналей. Треугольники AEB и CEB равны, по двум сторонам и углу: 1) по условию задачи, углы AEB=BEC=90 градусов, 2) сторона EB у них общая, и 3) AE=EC, потому что E делит AC пополам (иначе не прямоугольник) . Из равенства треугольников следует, что AB=BC. Раз прямоугольник, то AB=CD, и BC=AD. Значит, из только что доказанного AB=BC следует AB=BC=CD=DA. значит это квадрат

Sabcd = 10√3/9 ед².

Объяснение:

В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

В прямоугольном треугольнике ВНD Cosα = BH/BD.

BD = BH/Cosα = (4/√3)/0,8 = 5√3/3 ед. => ОD = 5√3/6 ед.

∠BDH = β =  90° - α. По формулам приведения

Sin(90-α) = Sinβ = Cosα.

Cos(90-α) = Cosβ = Sinα.  

Sinα = √(1-Cos²α) = √(1-0,64) = 0,6.

tgβ = Sinβ/Cosβ = Cosα/Sinα = 0,8/0,6 = 4/3.

В прямоугольном треугольнике AOD tgβ = AO/OD.

AO = OD·tgβ = (5√3/6)·(4/3) = 10√3/9 ед.  => AC = 20√3/9.

Sabcd = (1/2)·AC·BD = (1/2)·(20√3/9)·(5√3/3) = 10√3/9 ед².

1. Построим отрезки АВ и МР. Рассмотрим получившийся треуг-ик MNP. По условию точки А и В - середины сторон MN и NP. Значит, АВ - средняя линия треугольника MNP, следовательно, она параллельна его основанию РМ:
AB II РМ.
2. Проведем отрезок EF. Рассмотрим треугольники EKF и РКМ. Они подобны по второму признаку подобия треуг-ов: две стороны одного треуг-ка пропорциональны двум сторонам другого треуг-ка и углы, заключенные между этими сторонами, равны. В нашем случае:
- КЕ : КР = 1 : 3 (откуда взялось 3: КР=КЕ+ЕР=1 часть + 2 части=3 части);
- KF : KM = 1 : 3 (точно также КМ=KF+FM=1 часть+2 части=3 части);
- угол К, заключенный между пропорциональными сторонами, - общий.
У подобных треугольников соответственные углы равны: <EFK=<PMK
3. Рассмотрим эти углы. Это соответственные углы при пересечении двух прямых EF и PM секущей КМ. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Т.е.
EF II PM.
4. Выше мы вывели, что РМ II AB, значит EF II АВ. 
Итак, мы доказали, что две стороны четырехугольника ABEF параллельны.
5. Построим отрезок NK. Рассмотрим треугольники NMK и NPK. Здесь ни AF, ни BE не будут являться средними линиями этих треугольников, поскольку точка F не является серединой стороны КМ, так же, как и точка Е - не середина стороны РК. Значит, они непараллельны основанию KN, которое является общим для обоих треугольников. Они непараллельны и между собой. 
В итоге мы получаем, что четырехугольник ABEF имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны. Значит это - трапеция.