Вокружности с центром о проведены две равные и параллельные хорды. найти их центр симметрии.

Соединим противоположные стороны хорд, соответственно друг напротив друга, получим прямоугольник, ввиду того, что Все стороны этой фигуры параллельно друг другу и перпендикулярны по условию чертежа.Соединим противоположные концы хорд друг с другом,- получим диагонали прямоугольника с центром в точке О , что и будет являться центром окружности.Это и есть равноудалённая точка от всех частей отрезка хорд.Значит он и будет ЦЕНТР СИММЕТРИИ.

Дано: треугольник АВС, угол А = 90°, BD - медиана
           треугольник KLM, угол K = 90°, LN - медиана
           AB = KL, BD = LN
Доказать: треугольник АВС = треугольнику KLM
Доказательство:
Рассмотрим треугольники ABD и KLN. Эти  треугольники равны по катету и гипотенузе: AB=KL, BD=LN (по условию)
В равных треугольниках стороны и углы соответственно равны, следовательно, AD = KN
Рассмотрим треугольники ABC и KLM. В этих треугольниках BD и LN являются медианами, значит, AD=DC и KN=NM
Но, как мы только что доказали, AD = KN
Значит, AC = KM
По условию AB = KL
Следовательно, треугольники ABC и KLM равны по двум катетам,
что и требовалось доказать

Указание. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе.

Решение. С центром в произвольной точке построим окружность, радиус которой равен данной медиане. Проведём произвольный диаметр AB‍ этой окружности. С центром в точке A‍построим окружность, радиус которой равен данному катету. Пусть C —‍ одна из точек пересечения построенных окружностей. Тогда медиана CM‍ (радиус первой окружности) треугольника ABC‍ равна половине стороны AB‍ (диаметр первой окружности), следовательно, ABC —‍ искомый прямоугольный треугольник.