Диагонали ромба авсд равны 24 и 45 . найдите длину вектора ав-ас .

Половина стороны квадрата пусть а, апофема пусть а*x (по смыслу x это тангенс угла боковой грани при стороне основания).

Тогда S = (2*a)^2 + 4*a*(a*x) = 4*a^2*(x + 1); (здесь S = 16)

и a^2 + (a*x)^2 = b^2; (а тут b = 5), то есть a^2*(x^2 + 1) = b^2;

Если разделить одно на другое, то останется квадратное уравнение для х.

(x^2  + 1)/(x  + 1)  = b^2/(S/4) = 4*b^2/S = 25/4; 

Я не буду решать это уравнение, поскольку один корень "сразу видно" - x = 7 (потому что 25/4 = 50/8 = (49+1)/(7+1) ), а второй корень отрицательный (а почему ? :) впрочем, вы можете решить "как положено").

Кажется, ну и что, нашли х... но 

a^2 = S/(4*(x + 1)) = 1/2; a = √2/2; это половина стороны основания. 

ответ √2.

Ну вот так хочется посчитать гипотенузу.. а не надо :)

Площадь боковой поверхности связана с площадью основания соотношением 

S = Sboc*cos(Ф); где Ф - угол наклона граней. 

при этом S = 3*6/2 = 9;

cos(Ф) = 1/2 = 0,5;

Поэтому 

Sboc = 9/0,5 = 18;

Если хочется понять формулу S = Sboc*cos(Ф), то это вот как получается (например). Если взять одну грань - треугольник, и проекцию этой грани на основание, то эта проекция имеет общую сторону с гранью и высота треугольника, который - проекция грани, -  как раз равна апофеме (высоте боковой грани), умноженной на cos(Ф), где Ф - угол наклона грани. Следовательно, так же связаны и площади. Если сложить площади всех граней и - площади их проекций (которые в сумме накрывают все основание), получается эта формула.