:1.найдите угол между лучом ов и положительной полуосью ох, если в (3; 3) 2.решите треугольник bcd, если уголв = 45', уголd=60', bc=√3 см 3. найдите косинус угла а треугольника авс, если а (3; 9) в (0; 6) с (4; 2)

1. угол вох - 45 градусов (точки луча ав имеют одинаковые координаты, а тангенс угла наклона луча равен ординате, деленной на абсциссу, то есть 1).

2. решается в смысле, что находим третий угол и длины сторон.

третий угол = 180-45-60 = 75 градусов.

дальше по теореме синусов: bc = корень(3);

cd/sin(45) = bd/sin(75) = bc/sin(60); (то есть равно 2 : ), так как sin(60) = корень(3)/2)

отсюда 

сd = корень(2);

bd = 2*sin(75);

{на этом в принципе можно и остановиться, но можно вычислить синус 75 градусов

sin(75) = sin(90-15) = cos(15) = x; sin(15) = корень(1- x^2); 2*sin(15)*cos(15) = sin(30) = 1/2; 2*x*корень(1-x^2) = 1/2;  

отсюда x^2*(1-x^2) = 1/8; что легко к виду 4*x^4-4*x^2+1 = 1/2;

то есть (2*x^2 - 1)^2 = 1/2;

отсюда x = (1/2)*корень(2+корень(2)); bd = 2*x}

3. cos a = (ab,ac) / ab*ac (будьте внимательны, имеется ввиду скалярное произведение векторов ав и ас, деленное на модули, то есть длины этих векторов). 

вектор ав = (0-3; 6-9) = (-3; -3);

вектор ас = (4-3; 2-9) = (1; -7);

скалярное произведение (ав,ас) = (-3)*1 + (-3)*(-7) = 18;

длина ab = корень(3^2+3^2) = корень(18);

длина ас = корень(1^2+7^2) = корень(50);

cos a = 18/корень(18*50) = 3/4

Отрезок \(AC\) называется перпендикуляром, проведённым из точки \(A\) прямой \(a\), если прямые \(AC\) и \(a\) перпендикулярны.

 



Точка \(C\) называется основанием перпендикуляра.

От точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. 

  

Докажем, что от точки \(A\), не лежащей на прямой \(BC\), можно провести перпендикуляр к этой прямой.

 

Допустим, что дан угол ∡ABC.

 

Отложим от луча \(BC\) угол, равный данному, и совместим эти углы накладыванием (представим, что сложим лист бумаги с равными углами по стороне \(BC\)).

Сторона \(BA\) совместится со стороной BA1.

При этом точка \(A\) наложится на некоторую точку A1.

Следовательно, совмещается угол ∡ACB с ∡A1CB.

Но углы ∡ACB и ∡A1CB — смежные, значит, каждый из них прямой.

 

Прямая AA1 перпендикулярна прямой \(BC\), а отрезок \(AC\) является перпендикуляром от точки \(A\) к прямой \(BC\).

Если допустить, что через точку \(A\) можно провести ещё один перпендикуляр к прямой \(BC\), то он бы находился на прямой, пересекающейся с AA1. Но две к одной и той же прямой перпендикулярные прямые должны быть параллельны и не могут пересекаться.

Это противоречие, что означает: через данную точку к прямой можно провести только один перпендикуляр.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Поэтому для построения медианы необходимо выполнить следующие действия:

1. найти середину стороны;

2. соединить точку, являющуюся серединой стороны треугольника, с противолежащей вершиной отрезком — это и будет медиана.



У треугольника три стороны, следовательно, можно построить три медианы.

Все медианы пересекаются в одной точке.



Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Поэтому для построения биссектрисы необходимо выполнить следующие действия:

1. построить биссектрису какого-либо угла треугольника (биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части);

2. найти точку пересечения биссектрисы угла треугольника с противоположной стороной;

3. соединить вершину треугольника с точкой пересечения на противоположной стороне отрезком — это и будет биссектриса треугольника.



У треугольника три угла и три биссектрисы.

Все биссектрисы пересекаются в одной точке.



Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Поэтому для построения высоты необходимо выполнить следующие действия:

1. провести прямую, содержащую одну из сторон треугольника (в случае, если проводится высота из вершины острого угла в тупоугольном треугольнике);

2. из вершины, лежащей напротив проведённой прямой, опустить перпендикуляр к ней (перпендикуляр — это отрезок, проведённый из точки к прямой, составляющей с ней угол 90°) — это и будет высота.



Так же как медианы и биссектрисы, треугольник имеет три высоты.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.



Но, как выше упомянуто, для некоторых видов треугольников построение высот и точки их пересечения отличаются. 

Если треугольник с прямым углом, то стороны, образующие прямой угол, можно назвать высотами, так как они перпендикулярны одна к другой. Точкой пересечения высот является общая вершина перпендикулярных сторон.



Если треугольник с тупым углом, то высоты, опущенные с вершин острых углов, выходят вне треугольника к продолжениям сторон. Прямые, на которых расположены высоты, пересекаются вне треугольника.

Не любая , а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.   извините, не прочитал, что в равностороннем. для равнобедренного рассуждение такое: это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). в этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. значит она медиана. два угла с вершиной на середине основания тоже равны. а так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. значит биссектриса совпадает с высотой в равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.