Даны координаты вершин треугольника авс: а(-6; 1), d(2; 4), c(2; -2 докажите, что треугольник авс равнобедренный и найдите высоту треугольника, проведенную из вершины а.

в этом случае ищем длину ab, bc, ac.

для этого пользуемся формулой:

отсюда ав = корень из 64+9 = корень из 73;

вс = 6, ас = корень из 73;

ав и ас равны, поэтому авс - равнобедренный.

найдём выстоу ар. для этого найдём вр = вс/2 = 3.

по т.пифагора ар = 

чертим пирамиду, диагонали основания (ас) и (вс), высотупирамиды (so). о-точка пересечения (ас) и (вс) и центр квадрата авсd. треугольник   asc равен треугольнику авс по трем сторонам. значит треугольник asc прямоугольный равнобедренный. ас=sqrt(2),   ао=ос=os=sqrt(2)/2.

все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. апофемы пирамиды равны высртами этих треугольников и равны sqrt(3)/2. проведём сечение через вершину пирамиды s и середины рёбер ad (точка м) и вс (точка n). угол между ав и плоскостью sad равен углу между ab и sm, значит равекн углу между sm и nm или углу smo.

из треугольника som   получаем : cos(smo)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)/3

после захвата константинополя крестоносцами (1204) византийская империя распалась: на возникло эпирское царство, в причерноморье - трапезундская империя, на северо-западе малой азии - никейская империя, а крестоносцы создали латинскую империю, в которую вошли часть фракии, средняя греция и пелопоннес (на юге греции). завоеватели-крестоносцы подвергали гонениям православную церковь, вынуждая местное население признать главенство папы римского. но это лишь к внутренним смутам, которые дополнялись раздорами в среде самих крестоносцев. в итоге в 1261 г. латинская империя, просуществовав чуть более полувека, пала под ударами сильной никейской империи.

никейский император михаил viii палеолог, блестящий политик и полководец, занял не только константинополь, но и византийский трон. однако возродить былую мощь византийской империи было уже невозможно. многие ее города, включая столицу, были разорены, некогда изобильные поля запустели, территория резко сократилась. в итоге византия оказалась в сильной зависимости от крупнейших итальянских городов-республик, венеции и генуи. в первой половине xiv в. итальянские купцы монополизировали не только внешнюю, но и внутреннюю торговлю византии. империю сотрясали многочисленные конфликты, усилились социальные движения против крупной феодальной аристократии.

между тем с востока на империю надвигались мощные армии турок-османов. правда, в 1402 г. турок разгромил знаменитый среднеазиатский полководец тимур (тамерлан), но это лишь отсрочило гибель византии. в 1453 г. константинополь пал, не выдержав длительной осады. турки сделали его столицей османской империи и назвали истанбулом (стамбулом).

до сих пор спорят о причинах падения некогда могущественной византийской цивилизации. одни считают, что византия, оказавшись между -востоком и западом, не выдержала давления с двух сторон. по мнению других, византии погубила ее отъединенность от запада, особенно усилившаяся после раскола церквей. это мнение подкрепляется весомым аргументом: католическая церковь не раз предлагала византии военную в обмен на признание верховенства папы римского. и византийские императоры, попав в безвыходное положение, были готовы принять это условие, но большинство населения не поддержало их. многие византийцы предпочитали подпасть под власть османов, нежели уступить давним и непримиримым врагам - католикам.

но, скорее всего, гибель византии стала результатом сочетания ряда факторов. и главными из них были внутренние противоречия. централизованная власть неуклонно слабела, в провинциях крепла феодальная знать, что объективно вело к раздробленности. торгово-ремесленное население, разоряемое итальянскими дельцами и своими феодалами, утрачивало доверие к власти, не защищавшей его интересы. рос и протест крестьянства, испытывавшего двойной гнет: и со стороны государства, и со стороны местных феодалов.

мощная государственность, которая долгое время была основой благополучия византии, застыв в своем развитии, стала тормозом прогресса и - в конечном счете - одной из главных причин гибели империи. +

------

из интернета.