Даны четыре точки a b c d не лежащие в одной плоскости. докажите, что любые две из трех прямых, соединяющие середины отрезков ab и cd, ac и bd, ad и bc, лежат в одной плоскости.

Любые две из трех прямых, соединяющих середины отрезков AB и CD; AC и BD; AD и BC  могут быть: 

а) параллельны одной из этих прямых. 

Через две параллельные прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

 

б) пересекаться: 

Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, притом только одну. 

В рисунке приложения даны некоторые из получающихся пар  параллельных и пересекающихся прямых:

а) pd и mn как средние линии треугольников АСD и BCD параллельны AD;   kp и no параллельны  основанию АС треугольников АDC и АВС.

б) km и mn,  mn  и no пересекаются. 

а) Найдем точку пересечения асимптот: (центр гиперболы)

2у - 3х = 7

2у + 3х = 1   Сложим и получим 4у = 8  у = 2  х = - 1.

О(-1; 2) - центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:

(х+1)^2 / a^2   -   (y-2)^2 /b^2 = 1.

Найдем а^2 и b^2.

Уравнение данного эллипса:

x^2 /3  + y^2 /7 = 1

Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:

Кор(7-3) = 2  от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.

Пусть (0; 2) - правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.

a^2 + b^2 = 1

Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:

a^2 + b^2 = 1     13a^2/4 = 1       a^2 = 4/13 

b/a = 3/2           b = 3a/2            b^2 = 9/13

Уравнение гиперболы:

13(x+1)^2 /4  -  13(y-2)^2 /9  = 1

б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус -

в т. (0; 2).

Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:

(y-2)^2 = -2px   (ветви влево!)

F = p/2 = 2  Отсюда  p = 4

(y-2)^2 = -4x

А) Высота (биссектриса, медиана) в равностороннем треугольнике, разбивает его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой 6 см и катетом 3 см.
По т. Пифагора
h=корень(36-9)=корень(27)

а) Высота (биссектриса, медиана) в равностороннем треугольнике, разбивает его на два равных прямоугольных треугольника
х (см) - катет
2х (см) -гипотенуза (против угла 30 град, лежит катет=половине гипотенузы)
4 (см) - второй катет
По т. Пифагора
х^2+16=4x^2
3x^2=16
x=корень(16/3)=4корень(1/3)
2x=8корень(1/3) (см)- сторона равностороннего треугольника