Четырехугольник abcd вписан в окружность с диаметром ad. найдите углы a, d и acb, если угол b=110 и угол c=130

См. рисунок. 
Проведем диагонали.
Углы, опирающиеся на диаметр- прямые ( отмечены на рисунке)
По условию ∠В=110° и ∠ C=130°
Отмечены углы 110°-90°=20°   и 130°-90°=40°
∠BCA=40°
Сумму противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°
∠А=180°-∠С=180°-130°=50°
∠D=180°-∠B=180°-110°=70°

1) Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии, каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны, угол между любыми двумя осями 60°

2) Квадрат имеет 4 оси симметрии, каждая проходит либо через противоположные вершины либо через середины противоположных сторон, и угол между любыми двумя осями не меньше 45°.

3) Правильный 5-угольник имеет 5 осей симметрии, каждая проходит через вершину и середину противоположной стороны и угол между ними не меньше 36°.

4) Правильный 6-угольник имеет 6 осей симметрии, каждая проходит либо через противоположные вершины либо через середины противоположных сторон, и угол между двумя соседними осями 30°.

Значит, правильный многоугольник с наименьшим числом сторон и углом 30° между осями - правильный 6-угольник

SABCD− правильная четырехугольная пирамида

SM=4SM=4 см

AS=5AS=5 см

AD-AD− ?

SO-SO− ?

S_{nol} -S

nol

− ?

1)

SABCD-SABCD− правильная четырехугольная пирамида, значит

ABCD-ABCD− квадрат

AB=BC=CD=ADAB=BC=CD=AD

ACAC ∩ BD=OBD=O

SOSO ⊥ (ABC)(ABC)

SMSM ⊥ ADAD ⇒ Δ SMA-SMA− прямоугольный

по теореме Пифагора найдем AM:

AM^2=AS^2-SM^2AM

2

=AS

2

−SM

2

AM^2=5^2-4^2AM

2

=5

2

−4

2

AM^2=9AM

2

=9

AM=3AM=3

AM=MD=3AM=MD=3

AD=2*AM=2*3=6AD=2∗AM=2∗3=6 (см)

2)

ACAC ∩ BD=OBD=O

AO=OC=OD=OBAO=OC=OD=OB

d=a \sqrt{2}d=a

2

AC=AD \sqrt{2}AC=AD

2

AC=6 \sqrt{2}AC=6

2

(см)

AO= \frac{1}{2}ACAO=

2

1

AC

AO= \frac{1}{2}*6 \sqrt{2} =3 \sqrt{2}AO=

2

1

∗6

2

=3

2

(см)

SOSO ⊥ (ABC)(ABC) ⇒ Δ SOA-SOA− прямоугольный

по теореме Пифагора найдем SO:

SO^2=AS^2-AO^2SO

2

=AS

2

−AO

2

SO^2=5^2-(3 \sqrt{2} )^2SO

2

=5

2

−(3

2

)

2

SO^2=7SO

2

=7

SO= \sqrt{7}SO=

7

(см)

3)

S_{nol}= S_{ocn}+ S_{bok}S

nol

=S

ocn

+S

bok

S_{ocn}=a^2S

ocn

=a

2

S_{ocn}=AD^2S

ocn

=AD

2

S_{ocn}=6^2=36S

ocn

=6

2

=36 (см²)

S_{bok} = \frac{1}{2} P_{ocn}*lS

bok

=

2

1

P

ocn

∗l

S_{bok} = \frac{1}{2} P_{ABCD}*SMS

bok

=

2

1

P

ABCD

∗SM

P_{ocn}=4*ADP

ocn

=4∗AD

P_{ocn}=4*6=24P

ocn

=4∗6=24

S_{bok} = \frac{1}{2} *24*4=48S

bok

=

2

1

∗24∗4=48 (см²)

S_{nol} =36+48=84S

nol

=36+48=84 (см²)

ответ: 6 см; √7 см; 84 см²