Дан прямоугольник abcd диагональ ac=3 см , угол cad=30 градусов найти площадь прямоугольника !

CD=1/2AC=1/2×3=1.5см
AD=корень из 3^2-1.5^2=корень из 6.75 см
S=CD×AD=1.5×корень из 6.75=корень из 9=3см

РЕШЕНИЕ

сделаем построение по условию

AC - диагональ ромба - она же биссектриса угла А

рассмотрим треугольник AFB -прямоугольный   <F=90

по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника

биссектриса  АС   делит сторону BF на отрезки ,пропорциональные

 прилегающим сторонам  , т.е.  AB/AF=BE/EF=26/10=13/5  ;AB=13/5*AF

так как AFB -прямоугольный

обозначим

 AF=x   -катет

AB=13/5*AF=13/5*x -гипотенуза

BF=26+10=36 -катет

по теореме Пифагора

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

AB^2 = BF^2+AF^2

(13/5x)^2=x^2+36^2

169x^2/25=x^2+1296

x^2=225

x= - 15  -по смыслу не подходит -отрицательный

или

x=15 - подходит

тогда

AB=5/2*x =13/5*15 = 39  -это сторона ромба

AB=BC=CD=AD=39

площадь ромба  = сторона * высота

S=AD*BF =AB*BF=39*36=1404

ответ 1404

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС  

Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.

Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Доказательство следствия проводится методом от противного.

Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.

Из теоремы 2 получаем

Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.

Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:  

АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.

Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.