Площадь треугольника abc равна 60. биссектриса ad пересекает медиану bk в точке e, приэтом be: ke =1: 1. найдите площадь четырехугольника edck

решение:

 

так как bd: cd=1: 2, то по свойству биссектрисы, ab: ac=1: 2, а так как bk- медиана, то есть точка k делит ас пополам, то ab=ak, то есть треугольник kab равнобедренный, то есть его биссектриса ae является и медианой одновременно. это означает, что be=ek. по свойству медианы это означает что площади треугольников abe и aek равны, а так же (так как bk - медиана в abc) площади abk и bkc тоже равны. а так как ad - биссектриса, которая желит сторону bc в отношении 1 к 2, то площадь abd относится к площади adc так же как 1 к 2 (у этих треугольников общие высоты, а основания находятся в таком отношении). исходя из того, что площадь abc есть 60, получаем, что площади треугольников abk и bkc равны по 30, а abd и adc равны 20 и 40 соответственно. тогда если х - площадь четырехугольника искомого, то площадь bed равна 30-х, площадь abe равна площади abd - площадь bed = 20-(30-х) = х-10, но площадь aek такая же, так как они равновеликие с bed, то есть тоже x-10. но площадь adc = 40 = площадь aek+ площадь edck = x - 10 + x = 2x - 10 = 40, то есть х = 25.

 

ответ: площадь edck = 25

                                                            решение:

т.к.bd: cd=1: 2(т.к.биссектриса), ab: ac=1: 2, bk- медиана, то k делит ас пополам, то ab=ak, то треугольник kab- равнобедренный и его биссектриса ae является ещё и медианой.=> be=ek.по свойству медианы это значит,что s треугольников abe и aek равны и s abk и bkc равны.т.к. ad - биссектриса, делящая bc в отношении 1: 2, то s abd относится к s adc так же как и 1: 2.т.к. s abc=60,то s треугольников abk и bkc=30(каждый треугольник), а abd и adc равны 20 и 40.пусть х- s искомого четырехугольника,тогда s bed= 30-х,s abe= s abd - s bed = 20-(30-х) = х-10, но s aek такая же, так как они равны с bed.но s adc = 40 = s aek + s edck = x-10+x=2x-10 =40. х = 25.ответ: s edck=25.

 

отметь мне лучшее решение, , и тебе 25% потраченных пунктов на это вернётся.

меньшее основание ав=16, большее основание dc = х, исходя из свойств трапеции средняя линия   lm=(ab+dc)/2, из условии средняя линия поделена диагоналями трапеции на три равные части, следовательно отрезок ln=nk=km, где nk- это отрезок средней линии пересечения диагоналей трапеции, исходя из этого следует, что lm=3*nk, из свойств трапеции отрезок пересечения диагоналей равен половине разницы оснований трапеции nk=(dc-ab)/2, теперь совместим формулы. итак: lm=3*nk,   lm= 3*(dc-ab)/2,   lm=(ab+dc)/2, следовательно 3*(dc-ab)/2=(ab+dc)/2,     сокращаем делитель 2 и раскрываем скобки 3*dc-3*ab=ab+dc,       2dc=4*ab,   dc=2*ab                   ответ: большее основание равно 32.

проведем отрезок hm - очевидно что это будет также медиана только уже прямоугольного треугольника   внс. вспомним что медиана равна половине гипотенузе то есть треугольник mhc равнобедренный так как   mc=hm   .        

угол   amh   = amc-hmc   , а так как amc=180-(x+2x)   ;   hmc=180-(2x+2x) 

amh=180-3x-(180-4x) = x 

то есть треугольник amh   тоже равнобедренный ,   значит ah=hm=1

стало быть bc=2hm=2*1=2

подробнее - на -