1. смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150 градусов. найдите площадь параллелограмма. 2. площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2, а её высота равна 8 см. найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см. 3. на стороне ас данного треугольника авс постройте точку d так, чтобы площадь треугольника авd составила одну треть площади треугольника авс.

1) Дано: ABCD - параллелограмм
             AB = 26 см, AD = 32 см, ∠B = 150°
   Найти: S 
   Решение: 
   Проведем высоту BH
   Получим прямоугольный ΔABH, ∠H = 90°, ∠B = 150-90 = 60°, 
   ∠A = 90 - 60 = 30°
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы 
BH = 1/2 * AB = 1/2 * 26 = 13 см
Площадь параллелограмма равна произведению основания и высоты, проведенной к этому основанию
S = AD * BH 
S = 32 * 13 = 416 см²

2) Дано: ABCD - прямоугольная трапеция, ∠A = 90°
             S = 120 см², AB = 8 см - высота 
             BC и  AD - основания
             AD > BC на 6 см
Найти: AB, BC, CD, AD 
Решение:
AB - высота и меньшая боковая сторона
AB = 8 см
Пусть BC = x, AD = x + 6 
S = (BC + AD)/2 * AB 
(x + x + 6)/2 * 8 = 120
(2x + 6)/2 = 120/8
x + 3 =15
x = 15 - 3 
x = 12
  BC = 12 см, AD = 12 + 6 = 18 см
Проведем высоту CH. Получим прямоугольный ΔCDH, ∠H = 90°
DH = AD - AH, AH = BC
DH = 18 - 12 = 6 см
По т.Пифагора 
CD² = CH² + DH²
CD² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100
CD=√100 = 10 
ОТвет: AB = 8 см, BC = 12 см, CD = 10 см, AD = 18 см

3) Нужно поделить сторону AC на три равные части и ближе к точке A построить точку D 
 

Док-во:
1.Рассмотрим треугольник PHO и треугольник MKO:
OH=OK (по усл.)
OP=OM (по усл.)                                                        }→ треуг.PHO=треуг.MKO
угол MOK=углу POH (по св-ву вертикальных углов)
→угол OPH = углу OMK, как соответственные элементы в равных треугольниках;
2. MO=PO (по усл.)
    HO=KO (по усл.)         }→PK=MH
    PK=PO+KO
    MH=MO+HO
3. Т.к. треугольник MOP - р/б, угол MPO= углу OMP, как углы при основании р/б треуг.;
4. Рассмотрим треугольник PMH и треугольник MPK:
    MH=PK(см п. 2);
    MP - общая;                                  }→треуг. PMH= треуг. MPK;
    угол MPO = углу OMP (см п.3)
                                                                   ч.т.д.

Четырёхугольник АЕРС - равнобедренная трапеция.

В трапецию можно вписать окружность в том случае, если суммы её противоположных сторон равны.

То есть AЕ + РC = ЕР + АC;
В случае выполнения данного равенства окружность можно вписать в трапецию и радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции.

Радиус вписанной в трапецию окружности вычисляется по формуле:

                         r = h / 2 = √(bc) / 2                  ,

где  h - высота трапеции,
       b,c - основания трапеции.

Обозначим ЕР как х.

Тогда  (12 + х)*2 = 30,  12 + х = 15,   х = 15 - 12 = 3 см.

И получаем искомый радиус:

r = √(3*12) / 2 = √36 / 2 = 6 / 2 = 3 см.