Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 15 см, а діагональ бічної грані 12см. знайдіть площину бічної призми.

Обозначим сторону основания (квадрата) за х
высоту призмы за у
диагональ основания (по Пифагору)=xv2
система
(xv2)^2+y^2=15^2
x^2+y^2=12^2

2x^2+y^2=225
x^2+y^2=144
вычитаем из первого второе

2x^2+y^2-x^2-y^2=225-144
x^2=81
x=v81=9 см

y^2=144-81
y^2=63
y=v63=3v7 см

площадь одной боковой грани=9*3v7=27v7 см.кв.
площадь боковой поверхности=4*27v7=108v7 см.кв.

Пирамида правильная, следовательно, вершина S проецируется в центр О основания (квадрата АВСD), а все углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания, равны. Это двугранные углы, измеряемые линейным углом, получаемым при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). В нашем случае это угол SHO, образованный пересечением плоскостей основания и боковой грани плоскостью SOH, перпендикулярной основанию и боковому ребру (то есть перпендикулярной ребру АВ).

Тогда из прямоугольного треугольника SOH имеем:

SO = SH*Sinα = L*Sinα (высота пирамиды), а НО = L*Соsα.

Заметим, что НО - это половина стороны основания. Сторона равна 2*L*Соsα.

Тогда площадь основания So = 4*L²*Соs²α.

Объем пирамиды равен (1/3)*So*SO = (1/3)*4*L²*Соs²α*L*Sinα.

V = (4/3)*L³*Соs²α*Sinα = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α (так как

2Sinα*Cosα = Sin2α).

ответ: V = (2/3)*L³*Соsα*Sin2α.

Главное, что нужно найти - это угол, стягиваемый хордой. То есть угол СОD.

Ясно, что

угол АОС + угол СOD + угол DOB = 180 градусов (полуокружность).

Поэтому

угол СOD = 180 - (23 + 37) = 120 градусов.

Построим РАВНОБЕДРЕННЫЙ треугольник COD и проведем в нем ОМ через середину CD. ОМ перпендикулярно CD, и ОМ делит угол COD пополам.

То есть треугольник СОМ прямоугольный, и угол СОМ = 60 градусов. 

Поэтому ОМ = ОС/2 = R/2; (R - радиус окружности).

(если вам не понятно, откуда это взялось, то возьмите 2 треугольника СОМ и MOD и приставьте друг к другу не катетом ОМ, а катетами СМ = МD. Получится равносторонний треугольник, потому что все его углы будут 60 градусов. Значит ОМ = ОС/2)

Осталось вычислить СМ по теореме Пифагора, и умножить на 2, получим длину CD

СD = 2*корень(R^2 - (R/2)^2) = R*корень(3) = 15*корень(3).