Через точку k на ребре аd тетраэдра dabc проведено сечение параллельно грани равна авс площадь сечения равна 27, ак: кд=1: 3.найдите площадь грани авс

Пусть проведенное сечение пересекает ребра тетраэдра DC и DB в точках M и N соответственно. Значит сечение представляет собой треугольник KMN, параллельный треугольнику АВС и подобен ему в силу параллельности их соответственных сторон. 

Рассмотрим треугольники DKM и DAC. Они подобны, так как КМ║АС. АК:КD=1:3. AK=x, тогда KD=3х. АD=AK+KD = 4x.KD/AD=3/4. Это коэффициент подобия треугольников. Итак, КМ/АС=3/4. => это коэффициент подобия треугольников KMN и АВС. 

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия этих фигур, то есть Skmn/Sabc=(3/4)² и Sabc=16*Skmn/9 = 16*27/9 = 48 ед². 

ответ: Sabc=48 ед².

Начнём с конца. Перпендикуляр из точки В на плоскость АСМ - это катет треугольника ВС. Его можно найти, зная длину другого катета (АС = 18) и угол А = 30 градусов. Его синус = 1/2, косинус = √3/2, а значит стороны треугольника:
АВ = AC/cosA = 18/(√3/2) = 36/√3 
ВС = sinA*AB = 1/2 * (36/√3) = 18/√3
Второе требуемое мы нашли. Теперь к первому.
Пусть перпендикуляр из точки М к прямой АВ попадает на эту прямую в точке Н. Тогда СН - это высота треугольника АВС (по мне очевидно, но если надо, можно доказать). Найдём СН. Для этого рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник АСН, в нём АС - это гипотенуза, значит:
СН = AC*sinA = 18 * 1/2 = 9
Теперь рассмотрим треугольник МСН. Он тоже прямоугольный и нам надо найти его гипотенузу:
МН² = СМ² + СН² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²
МН = 15
Вот собственно и всё. Не забывайте про единицы измерения, как я, и спрашивайте, если непонятно.

а) Из условия имеем, что точка пересечения высот лежит на FD. Это может быть только если тр-к DFE - прямоугольный, угол F = 90 гр.

Найдем катет FD:

FD = кор(17^2 - 8^2) = 15

Площадь: S = 8*15/2 = 60

б) Из условия имеем, что DK - и биссектриса и медиана. Значит DEF - равнобедренный. DF = DE = 17,  EF = 8

Полупериметр: р = (8+17+17)/2 = 21

Площадь:

S = кор(21*13*4*4) = 4кор273 (примерно 66)

в) Из условия имеем, что биссектриса DK является еще и срединным перпендикуляром. Значит треугольник DEF - равнобедренный. DE= DF=17

Далее решение аналогично п.2.

ответ: 4кор273 = 66 (примерно).

 

P.S. В 1)  и  2) мы воспользовались тем, что прямая и точка, не прин. этой прямой - задают плоскость и притом только одну. Если же говорят о 2 и более  плоскостях, значит точка лежит на этой прямой. В 3) мы воспользовались утверждением, что прямая может пересечь плоскость только в одной точке.