Из вершины квадрата авсд проведён перпендикуляр ае к плоскости квадрата.чему равно расстояние от точки е до прямой вд если ае=6см., ав=16см.

Докажите, что отрезок, соединяющий точку основания равнобедренного треугольника с противоположной, не больше боковой стороны.

ответ:НАЧАЛА ЕВКЛИДА - написанное Евклидом в III веке до н.э. сочинение, содержащее основы античной математики.

В «Началах» Евклида рассматривались вопросы элементарной геометрии, теории чисел, алгебры, общей теории отношений и метод определения площадей и объёмов, включающий элементы теории пределов. Евклид подвёл итоги 300-летнего развития греческой математики и заложил фундамент для дальнейших математических исследований. «Началах» Евклида не являются, однако, энциклопедией математических знаний своей эпохи. Так, в «Началах» Евклида не излагалась теория конических сечений, которая была тогда уже достаточно развита, отсутствовали вычислительный методы.

«Началах» Евклида построены по дедуктивной системе: сначала приводятся определения, постулаты и аксиомы, затем формулировки теорем и их доказательства (смотрите Дедукция). Вслед за определением основных геометрических понятий и объектов (например, точки, прямой) Евклид доказывает существование остальных объектов геометрии (например, равностороннего треугольника) путём их построения, которое выполняется на основании пяти постулатов. В постулатах утверждается возможность выполнения некоторых элементарных построений, например что «от всякой точки до всякой точки (можно) провести прямую линию» (I постулат) и что «от всякого центра и всяким раствором (может быть) описан круг» (III постулат). Особое место занимает V постулат, иначе - аксиома о параллельных (смотрите Геометрия, Пятый постулат). После постулатов в ««Началах» Евклида приводятся аксиомы - предложения о свойствах отношений равенства и неравенства между величинами.

На протяжении более 2 тыс. лет «Начала» Евклида являлись образцом научной строгости. С современной точки зрения система аксиом и постулатов «Начала» Евклида недостаточна для дедуктивного построения геометрии. Логические недостатки построения «Начала» Евклида полностью выяснились в конце XIX века после работ Д. Гильберта.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. В книге I рассматриваются основные свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и производится сравнение их площадей. Книга заканчивается Пифагора теоремой. В книге II излагается т. н. геометрическая алгебра, т. е. строится геометрический аппарат для решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. В книге III рассматриваются свойства круга, его касательных и хорд, в книге IV - правильные многоугольники. В книге V даётся общая теория пропорций, созданная Евдоксом Книдским; её можно рассматривать как прообраз теории действительных чисел, разработанной во второй половине XIX века. Общая теория пропорций является основой учения о подобии (книга VI) и метода исчерпывания (книга VII). В книгах VII-IX изложены начала теории чисел, основанные на алгоритме нахождения наибольшего общего делителя (Евклида алгоритм). В эти книги входит теория делимости, включая теоремы об однозначности разложения целого числа на простые множители и о бесконечности числа простых чисел; здесь также излагается учение об отношениях целых чисел, эквивалентное, по существу, теории положительных рациональных чисел. В книге Х даётся классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и обосновываются некоторые правила их преобразования. Результаты книги Х применяются в книге XIII для нахождения длин рёбер правильных многогранников. В книге XI излагаются основы стереометрии. В книге XII с исчерпывания метода определяются отношения площадей двух кругов и отношения объёмов пирамиды и призмы, конуса и цилиндра. В книге XIII определяется отношение объёмов двух шаров, строятся 5 правильных многогранников и доказывается, что др. правильных многогранников не существует. Позднее греческими математиками к ««Началам» Евклида были присоединены книги XIV и XV, не принадлежавшие Евклиду.

«Начала» Евклида получили широкую известность уже в древности. Архимед, Аполлоний Пергский и др. учёные опирались на них в своих исследованиях по математике и механике. До нашего времени античный текст «Начал» Евклида не дошёл (древнейшая из сохранившихся копий относится ко второй половине IX века). В конце VIII - начале IX веков появились переводы «Начал» Евклида на арабский язык. Первый перевод с арабского на латинский язык был сделан в первой четверти XII века. Первое печатное издание «Начал» Евклида появилось в Венеции в 1482 году. Одним из лучших считается издание И. Гейберга («Euclidis Elementa», vol. 1-5, 1883-1888), в котором приводится как греческий текст, так и его латинский перевод. На русском языке ««Начала» Евклида издавались многократно начиная с XVIII века.

Объяснение:

Я на чертеже изобразил параллелограмм в виде квадрата, но пусть это никого не вводит в заблуждение - я нигде не пользуюсь этим, применяю только то, что справедливо для любого параллелограмма. (И между прочим, даже если бы я пользовался, получил бы верный ответ :). Но я не пользовался. В конце будет пояснение.)

Пусть площадь параллелограмма S, площадь треугольника AFK = S₂; площадь четырехугольника CEKF = S₁; площадь треугольника KBE S₃;

Очевидно, что площадь треугольника ABE и площадь треугольника AFD равны S/6; а площадь треугольника BCF равна S/3;

(Это все легко увидеть, если вспомнить формулы площади треугольника, скажем, если площадь параллелограмма S = CB*CD*sin(C), то площадь BСF равна CB*CF*sin(C)/2. Так как CF/CD = 2/3, то и получается S/3.)

Поэтому площадь AECF  S - 2*S/6 = 2S/3, то есть

S₁ + S₂ = 2S/3;

S₁ + S₃ = S/3;

Отсюда S₁ = S/3 - S₃; S₂ = S/3 + S₃; S₁/S₂ = (1/3 - z)/(1/3 + z); где z = S₃/S;

то есть для решения надо найти S₃/S;

как я уже говорил, площадь треугольника ABE S/6; так как у ABE и KBE общая сторона BE, достаточно найти отношение высот к ней, то есть расстояний от K до BC и от A до BC, а в силу очевидного подобия это отношение будет равно KE/AE; То есть вся задача упирается в это отношение KE/AE; если оно найдено, то S₃ = (S/6)*(KE/AE); то есть

z = (1/6)*(KE/AE);

Можно конечно найти это отношение, вычерчивая параллельные и исследуя подобие, но есть прямой инструмент, которым я воспользуюсь - это теорема Менелая. Для этого я продолжу DC и AE до пересечения в точке L и буду считать BF секущей треугольника ALD, которая пересекает продолжение AD в точке M.

В таких случаях очень легко запутаться в буквах и отрезках. Поэтому я введу некие обозначения. Пусть FD = x; BE = 2y (двойка для удобства, чтобы дроби не "тащить"); тогда AD = 6y; из подобия FDM и ABM AB = 3x; => DM = 3y; (потому что AM/DM = 3); кроме того, EC = 4y;

из подобия ABE и LCE CL = 6x; заодно полезно заметить CE/AE = 2;

теперь теорема Менелая.

(LF/FD)*(FM/MA)*(AK/KL)=1; (про знак можно забыть - тут это не важно)

(8x/x)*(3y/9y)*(AK/KL)=1; AK/KL = 3/8;

по сути, уже все найдено, но надо аккуратно найти отсюда KE/AE;

LE/AE = 2; AK = AE - KE; KL = LE + KE;

(AE - KE)/(2*AE + KE) = 3/8; если подставить сразу KE = 6z*AE, то

(1 - 6z)/(2 + 6z) = 3/8; z = 1/33; (для справки KE/AE = 2/11; а KE/AK = 2/9)

S₁/S₂ = (1/3 - z)/(1/3 + z) = (1/3 - 1/33)/(1/3 + 1/33)=(1 - 1/11)/(1 + 1/11) = 10/12 = 5/6;

Пара слов, почему я нарисовал квадрат. Я решил проверить результат по формуле Пика S = В + Г/2 - 1; наложив на рисунок квадратную сетку.

Для квадрата 3х3 получилось

для CFKE B = 1; Г = 5; S₁ = 5/2;

для AKF В = 3; Г = 2; S₂ = 3;

S₁/S₂ = 5/6;

Я так обрадовался, что забыл самое главное :) Формула Пика тут не работает, потому что точка K не лежит в узле решетки. На самом деле, можно подобрать такой шаг сетки, при котором K попадет в узел, но такой подбор равносилен вычислению координат точки K- это раз, а во-вторых, при мелком шаге и большом количестве точек формула Пика ничего не дает, кроме трудностей подсчета.