Какую часть площади треугольника, считая от вершины, отсекает от него средняя линия?

одну четвертую часть.  можно решать по рисунку 

1\4, так как треугольники большой и тот, который в нем, будут подобными, и коэффициент подобия их сторон будет k = 1\2а мы знаем, что площади подобных треугольников имеют k^2  а (1\2)^2 = 1\4 

1) параллелограмм авсд: ав||сд, вс||ад an⊥abc и kc⊥aвc т.к. если  прямая перпендикулярна к плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости (an⊥ac и кс⊥ас) плоскость квс⊥плоскости авс, т.к. плоскость квс проходит через прямую кс,  перпендикулярную к  авс (согласно теореме: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то заданные плоскости перпендикулярны). аналогично  плоскость anд⊥плоскости авс, т.к. плоскость  anд  проходит через  прямую  an,  перпендикулярную к  авс. т.к. плоскости    anд и квс, перпендикулярные к одной прямой ас, значит они  параллельны. 2) прямоугольный  δавс (∠в прямой) из точки s опустим перпендикуляр so  на плоскость авс. по условию  точка s равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого треугольника, значит  наклонные sa=sb=sc , а следовательно и их проекции на плоскость авс  оа=ов=ос. значит о - центр описанной окружности около  δавс.   т.к. в  прямоугольном треугольнике  центром описанной окружности  является середина гипотенузы м, то значит точки о и м , тогда    sm перпендикулярна плоскости авс

Четвертинка ромба - это прямоугольный треугольник, в котором два острых угла и есть ваши углы. в сумме они равны 90 градусов. х вы уже проходили. пусть 2х - это один угол, тогда второй равен 7х 2х+7х=90 9х=90 х=10 меньший угол равен 2·10=20 градусов больший угол треугольника равен 90-20=70 градусов мы нашли больший угол между стороной и диагональю ромба, так как диагонали ромба - это биссектрисы его углов, больший угол ромба будет в два раза больше угла между диагональю и стороной, и равен 70·2=140