Правильные треугольники abc и dbc расположены так, что вершина d проектируется в центр треугольника abc. вычислите угол между плоскостями этих треугольников.

Пусть O центр треугольника ABC , M - середина стороны  BC .  Ясно  AM ⊥BC   и   DM  ⊥ BC [ в равнобедренном (здесь намного больше _ правильном ) треугольнике медиана  проведенная к основанию ,является высотой и биссектрисой) .
---
∠AMD - искомый угол (линейный угол двугранного угла  ABCD ) .
Из прямоугольного  ΔDOM :  cos∠AMD= OM/DM =(1/3)AM / DM =1/3.
* * *  AM=DM  т.к.   ΔABC =ΔDBC  * * *
∠AMD= arccos(1/3).

ответ :  arccos(1/3).

Конус с углом φ при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписан в сферу радиуса R (т. е. вершина конуса лежит на сфере, а основание конуса является сечением сферы, рис. 158, б). Найдите: а) r, если известны R и φ; б) R, если известны r и φ; в) φ, если R = 2r

2.Так как параллелепипед описан вокруг цилиндра, то в основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру цилиндра, т.е. . Тогда площадь квадрата (основания) будет равна , а объем

3.Так как по условию призма правильная, то CC1⊥DC и DC⊥AD. Так что по теореме о трех перпендикулярах C1D⊥AD. Далее, в прямоугольном ΔAС1D по теореме Пифагора находим:

Итак, проведем высоту к боковой стороне. Высота образует прямой угол 90 градусов, и, следовательно, прямоугольный треугольник. В нашем равнобедренном треугольнике высота является также и медианой и биссектрисой. Мы знаем, что медиана делит сторону пополам, следовательно и наша высота делит боковую сторону пополам. Получаем - 20:2= 10 см (1 катет прямоугольного треугольника). Гипотенуза нам известна - 20см, тогда по теореме Пифагора наша сторона неизвестная в квадрате равна 20 в квадрате минус 10 в квадрате и это все равно 300
Сторона равна корню квадратному из 300 или 10 корней из 3 :)