4. 3 окружности (с радиусами 15, 15 и 24), попарно касаются друг друга внешним образом, и изнутри касаются четвертой окружности. найдите радиус этой окружности. 5. сторона квадрата имеет длину 1, и является хордой некоторой окружности. причем остальные стороны лежат вне нее. длина касательной проведенной из вершины квадрата к той же окружности равна 2. найдите квадрат длины ее радиуса. 2.в трапеции abcd отрезок mn с концами на боковых сторонах параллелен основаниям, ad = 4√2, bc = 3√2. найти mn, если известно, что площади трапеции amnd и mbcn равны. 1. в δabc точка n лежит на стороне ac, an = 0, 4ac, медиана am перпендикулярна bn. найти площадь δabc, если am = 7, bn = 8. 3. на стороне ab треугольника abc, длина которого 4√3, отмечены точки d и e. найдите площадь треугольника abc, если ad = 1, de= 2, ∠acd = 30°, ∠ace = 120°. трапеций amnd и mbcn равны.

это хоть на похоже.

 

4. центры окружностей образуют равнобедренный треугольник со сторонами 

24 + 15 = 39 (это две боковые стороны) и 15 + 15 = 30 (это основание). высота к основанию легко находится, поскольку вместе с половиной основания 15 и боковой стороной 39 образует прямоугольный треугольник (15, 36, 39) (пифагорова тройка). высота равна 36.

центр "внутренней" окружности расположен на этой высоте, пусть его радиус r. расстояния от него до вершин (центров остальных окружностей) равны 15 + r, 15 + r, 24 + r. поэтому расстояние от этого центра до основания (линии центров окружностей радиуса 15) равно 36 - (24 + r) = 12 - r;

отсюда (15 + r)^2 = 15^2 + (12 - r)^2; 2(15 + 12)r = 12^2; r = 72/27;

 

5. если продлить сторону квадрата, из вершины которой выходит касательная, до второго пересечения с окружностью, и обозначить эту хорду х, то 

2^2 = 1(x+1); x = 3;  

в результате имеются две взаимно перпендикулярные хорды длины 1 и 3, ясно, что отрезок, соединяющий их не общие концы - диаметр, то есть

d^2 = 1^2 + 3^2 = 10; r^2 = 5/2;

 

2. если обозначить h - высота трапеции abcd, h - высота трапеции mncb, m = mn; a = ad; b = bc; то

(m + b)h = (a + b)h/2;

(m + a)(h - h) = (a + b)h/2;  

(это все потому, что площади трапеций nmcb и admn равны половине площади abcd) 

пусть x = h/h; тогда

(m + b)x = (a + b)/2;

(m + a)(1 - x) = (a + b)/2;

складывая оба уравнения, легко находим

x = (m - b)/(a - b);

m^2 = (a^2 + b^2)/2;

подставляем числа из условия, получаем m = 5;

 

1. площадь четырехугольника abmn равна 7*8/2 = 28;

если обозначить ac = b; bc = a, то

площадь треугольника авс равна s = absin(c)/2

площадь треугольника mnс равна (a/2)b(1-0,4)sin(c)/2 = 3s/10;

поэтому площадь abmn равна 7s/10 = 28; откуда s = 40;

 

3. самая прикольная .

пусть cd = b; се = a;

теорема синусов для тр-ка adc (ф - угол вас)

b/sinф = ad/sin30 = 2; b = 2sinф;

теорема синусов для тр-ка ace 

a/sinф = ae/sin120 = 2√3; a = 2√3sinф;

треугольник dce прямоугольный, с гипотенузой de   =2;

a^2 + b^2 = 4;

откуда sinф = 1/2; отсюда сразу следует, что треугольник асе равнобедренный с углом при вершине 120 (при основании - два угла по 30). но это в решении не пригождается, так как h - высоту авс, то есть расстояние от с до ав, проще всего найти из треугольника cde

ab = 2h; но уже найдены b = 1 и а =  √3; поэтому h =  √3/2;

площадь авс равна (√3/2)*(4√3)/2 = 3.

 

Втрапеции abcd боковые стороны ab=cd=13 см,  .основания bc=15см ,ad=21 . опустим на основание аd высоты be и сf. тогда ef=bc=15см                   ad-ef                         36  - 12       ae=fd=     2         =         =         2       =     12   см                     применив теорему пифагора к прямоугольному треугольнику abe найдём высоту be                    be²=ab²-ae²=13²-12²=169-144= 25   или be=5 см  найдем   площадь трапеции     :                       s ( abcd)= (bc+ad): 2   ×be=(15+21): 2×5 =36: 2×5=90см² ответ: 90 см  ²

Обозначим меньшую сторону параллелограмма за a = 2х (см), тогда большую — за b = 3х (см). Составим и решим математическую модель, используя формулу периметра парал-ма:

   

Следовательно, меньшая сторона равна a = 2х = 2·3 = 6 (см), большая сторона равна b = 3х = 3·3 = 9 (cm).

Проведем высоту hₐ из тупого угла параллелограмма на сторону a. Получим прямоугольный треугольник с катетом (высота hₐ), лежащим напротив угла 30°.

   

Подставим значения в формулу площади параллелограмма:

   

ответ: площадь равна 27 cm².