Отрезок длиной 10 дм пересекает плоскость, концы его удалены от плоскости на 5 дм и 3 дм. найдите длину проекции отрезка на плоскость. (чертеж обязателен)

PQ - проекция отрезка AB на плоскость.

AP⊥PQ, BQ⊥PQ

Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра из точки на плоскость.

AP=5 дм, BQ=3 дм

Отрезок и его проекция лежат в одной плоскости (перпендикулярной плоскости проекции), задача планиметрическая.

Опустим перпендикуляр BK на продолжение AP. BKPQ - прямоугольник, противоположные стороны равны.

PK=BQ =3 дм

AK=AP+PK =5+3 =8 (дм)

△BKA - египетский тругольник (3:4:5), множитель 2.

BK= 3*2 =6 (дм)

PQ=BK =6 (дм)

Для каждой вершины надо определить векторы сторон и их модули.

Угол А: векторы АВ и АС.

АВ = (1-(-1); -√3-√3)) = (2; -2√3), модуль равен √(4 + 12) = 4.

АС = (0,5-(-1); √3-√3) = (1,5; 0), модуль равен 1,5.

cos A = (2*1.5+( -2√3)*0)/(4*1.5) = 3/6 = 1/2.

Угол А = arccos(1/2) = 60 градусов.

Аналогично определяются другие углы.

Координаты векторов сторон      

АВ                         BC (a)                AС (b)  

x y                       x y                     x      y

2   -3,4641       -0,5    3,4641         1,5     0

Длины сторон  АВ (с) = √(4+ 12) = √16 = 4

                          BC (а) =  √(0,25+ 12) = √12,25 = 3,5

                          AC (b) = √(2,2+ 0) = √2,25 = 1,5.

Углы по векторам      

cos A = (3+ 0)/ 6 = 0,5.

А = 1,0472     60 градусов

cos B = (1 +12)/ 14 = 0,9286.

В =  0,3803       21,7868 градуса

cos C = (-0,75 + 0)/  5,25 =  -0,14286  

С = 1,71414    98,2132 градуса.

Можно проверить по теореме косинусов:

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) =   26/ 28 = 0,928571429  

B = arccos 0,9286 = 0,38025 радиан 21,7868 градуса/

cos C = (a^2+b^2-c^2)/(2ab)=   -1,5/ 10,5 = -0,142857143  

C = arccos -0,14286 = 1,714144 радиан 98,2132 градуса

1) Как называется утверждение которое нельзя доказать?

Аксиома.

2)  Из теоремы "Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны" составьте обратную.

Меняем "если" и "то" местами: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

3) Как называются прямые на плоскости, не имеющие общих точек?

Параллельными.

4) Если прямая a параллельна прямой b, и прямая а параллельна прямой с, то что можно сказать о прямых b и c?

Тогда b║c.

5) Изобразите: две параллельные прямые пересеченные секущей, отметьте числами 5 и 6 углы, которые являются односторонними.

См. рисунок.

6) О равенстве каких углов можно утверждать, если параллельные прямые пересечены секущей.

Тогда равны накрест лежащие углы: ∠1 = ∠7, ∠4 = ∠6

и равны соответственные углы: ∠1 = ∠5, ∠2 = ∠6, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8.