Найдите площадь квадрата описанного око окружности радиусом 16

32 вроде наверно, смотря как решать

Объяснение:

Инструменты:

линейка; циркуль.

Пусть задан отрезок АВ - основа

ние равнобедренного треуголь

ника.

1.

С линейки строим от

резок АВ. Точки А и В - вершины

основания искомого треуголь

ника.

2.

Пусть раствор циркуля равен

заданному радиусу описанной окружности.

Острый конец циркуля помещаем

в вершину А и отмечаем две дуж

ки по одной в каждой полуплос

кости. Затем, не меняя раствор

циркуля, из точки В отмечаем две

дужки того же радиуса. Каждая дужка, проведенная из точки В,

должна пересекать проведенные ранее из точки А.

3.

Что получилось?

Имеем отрезок АВ и четыре по

парно пересекающиеся дуги ок

ружностей по обе стороны от от

резка АВ. С линейки

соединяем точки пересечения

дуг прямой линией.

Построенная прямая проходит че

рез середину основания АВ, то

есть она вляется высотой равно

бедренного треугольника.

Рассмотрим одну из точек пересе

чения постренных дуг. Эта точка равноудалена от вершин А и В и

находится на расстоянии задан

ного радиуса от каждой из них,

следовательно, точка пересечения дужек - это центр окружности, опи

санной около искомого треуголь

ника окружности. Это "особая" точ

ка треугольника. В ней пересека

ются все медианы и тока пересе

чения дилит их в отношении 2:1 от

вершины.

4.

Осталось отметить третью вер

шину искомого треугольника.

Острие циркуля помещаем в выб

ранную точку пересечения дужек

и все тем же раствором циркуля

строим дугу, которая пересекает

высоту треугольника. Точка пере

сечения этой дуги с высотой яв

ляется третьей вершиной искомо

го треугольника, обозначим ее В.

5.

С линейки соединяем

вершины А и В, вершины С и В.

Получили искомый треугольник

АВС.

6. Если использовать другу точку

пересечения дужек, о которй упоминается в пункте 3, то повто

рив аналогично все описанные

построения, получим не один, а

два равнобедренных треугольни

ка , построенных по стороне и ра

диусу описанной окружности.

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной.
По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN.
Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6,
4²=x(х+6),
х²+6х-4=0,
х1=-8, отрицательное значение не подходит,
х2=2.
ON=2+6=8 дм - это ответ.

Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом.
Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r.
На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r.
Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды.
∠MKN=α, ∠MPN=β.
Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды.
MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R.
MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r.
Сравним синусы, предположив, что они равны.
MN/2R=MN/2r.
1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα.
Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°.
В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера,
значит α>β.
Доказано.