Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм^2, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. найти катеты треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна 84 дм², а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, 3см. Найти катеты треугольника. 

Пусть дан треугольник АВС, угол С=90º

Точки касания вписанной окружности на АС- точка К, на ВС - точка Н, на гипотенузе АВ- точка М. 

Пусть АК=х, ВН=у. 

Тогда по свойству отрезков касательных из одной точки АМ=х, ВМ=у

АВ=х+у

АС=х+3, ВС=у+3

Формула радиуса вписанной окружности

r=S:p, где r -радиус, S - площадь треугольника. р- его полупериметр

р=х+у+3

3=84:(х+у+3)

х+у+3=28⇒

х+у=25

у=25-х

АВ=х+у=25 дм

АС=х+3

ВС=25-х+3=28-х

По т.Пифагора

(х+3)²+(28-х)²=625

Произведя вычисления и приведя подобные члены, получим квадратное уравнение

х²-25х+84=0

D=25²-4·84=289

Решив уравнение, найдем два корня: 21 и 4

АС=21+3=24 дм

ВС=28-21=7 дм

Кстати, длины сторон этого треугольника из Пифагоровых троек, где стороны относятся как 7:24:25

ΔАВС - прямоугольный (∟B = 90 °). 
ΔА 1 В 1 С 1 - прямоугольный (∟B 1 = 90 °). 
АВ = А 1 В 1 . BN - высота (BN ┴ АС). 
В 1 N 1 - высота ( В 1 N 1 ┴ A 1 C 1 ). 
BN - B 1 N 1 . Доказать: ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 . 
Доведения: 
По условию: BN - высота (BN ┴ АС), тогда ∟BNC = ∟BNA = 90 °. 
Аналогично B 1 N 1 - высота, ∟B 1 N 1 C 1 = ∟B 1 N 1 A 1 = 90 °. 
Рассмотрим ΔBNA и ΔB 1 N 1 A 1 . 
По условию BN = B 1 N 1 и BA = В 1 А 1 ; ∟BNA = ∟B 1 N 1 A 1 = 90 °. 
По признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: ΔBNA = Δ B 1 N 1 A 1 . 
Отсюда ∟A = ∟A 1 . 
Рассмотрим ΔАВС и Δ А 1 В 1 С 1 . 
∟A = ∟A 1 ; ∟ABC = ∟ А 1 В 1 С 1 = 90 °. AB = A 1 B 1 . 
По признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1

ΔАВС - прямоугольный (∟B = 90 °). 
ΔА 1 В 1 С 1 - прямоугольный (∟B 1 = 90 °). 
АВ = А 1 В 1 . BN - высота (BN ┴ АС). 
В 1 N 1 - высота ( В 1 N 1 ┴ A 1 C 1 ). 
BN - B 1 N 1 . Доказать: ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1 . 
Доведения: 
По условию: BN - высота (BN ┴ АС), тогда ∟BNC = ∟BNA = 90 °. 
Аналогично B 1 N 1 - высота, ∟B 1 N 1 C 1 = ∟B 1 N 1 A 1 = 90 °. 
Рассмотрим ΔBNA и ΔB 1 N 1 A 1 . 
По условию BN = B 1 N 1 и BA = В 1 А 1 ; ∟BNA = ∟B 1 N 1 A 1 = 90 °. 
По признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: ΔBNA = Δ B 1 N 1 A 1 . 
Отсюда ∟A = ∟A 1 . 
Рассмотрим ΔАВС и Δ А 1 В 1 С 1 . 
∟A = ∟A 1 ; ∟ABC = ∟ А 1 В 1 С 1 = 90 °. AB = A 1 B 1 . 
По признаку pавенства прямоугольных треугольников имеем: ΔАВС = Δ А 1 В 1 С 1