3.e и f середины сторона ab bc треугольника abc. найти ef и

длины отрезков, соединяющие середины противоположных сторон, заданы в . 

в самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними. 

поэтому трапеция, у которой диагонали равны - равнобедренная.

раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований - это попросту высота, по условию это 8. отрезок, соединяющий середины боковых сторон - это средняя линяя, она равна 8.

остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. для этого надо найти длину диагонали.

проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 - это часть большого основания. в самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты 

(9 - 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 - 1 = 8.

диагональ - гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).

длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали - как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. то есть она равна 4*корень(2).

ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. поэтому эти отрезки образуют ромб. однако в данной это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. : ) 

рассмотрим отношение площадей двух квадратов. если сторону одного квадрата обозначим через т, а сторону другого — через п, то площади будут соответственно равныт2 и п2

обозначив площадь первого квадрата через s, а   площадь   второго   через s',     получим: s/s' = m2/n2  ,     т.   е.     площади квадратов  относятся   как квадраты их сторон.

полученную формулу можно преобразовать так: s/s' =   ( m/n)2 .

значит, можно   сказать,   что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно 32 = 9.