Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 2: 5, рахуючи від вершини тупого кута, який дорівнює 120°. обчисліть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 54 см.

ABCD - параллелограмм
АК - биссектриса
ВК:КС=2:5,
пусть х -коэффициент пропорциональности
тогда ВК=2х, КС=5х
BC=BK+KC=>BC=7х
<BAK=<KAD - по условию
<KAD=AKB - накрест лежащие
ΔАВК -равнобедренный, =>AB=BK=2x
P=(AB+BC)*2
54=(2x+7x)*2
9x=27, x=3
AB=6, BC=21
S AB*BC*sin<B
S=6*21*(1/2)
S ABCD=36

Расстояние от точки до прямой измеряется перпендикуляром. 
Расстояния от М до сторон треугольника - равные по длине наклонные. Следовательно, их проекции на плоскость треугольника также равны, и равны они радиусу вписанной в этот треугольник окружности.. 
Пусть данный треугольник будет АВС с прямым углом С.
 Тогда все отрезки из М, перпендикулярные его сторонам, равны МН=5 см, а основание перпендикуляра МО из М к плоскости треугольника - центр вписанной окружности. 
Радиус вписанной окружности найдем по формуле:
r=(a+b-c):2,
где а и b- катеты, с - гипотенуза. 
Гипотенузу АВ найдем по т.Пифагора, и равна она 15 см (вычислить сможет каждый, хотя можно устно найти, т.к. треугольник АВС имеет отношение катетов 3:4, и он - египетский) 
r=(12+9-15)^2=3 cм
Треугольник МОН - египетский, и
 МО=4 см
( можно проверить по т.Пифагора)

обозначим  длина  стороны основания пирамиды  через b 
1) 27 -1 =26  угольная пирамида (1 -вершина пирамиды ).
2) SO =a√3 ; R =2a;
a) апофема  SM правильной треугольной пирамиды :
ΔSOM:  SM =√(OM² +H²) ; AM 
OM =r =1/3*AO  ; R =2/3*AO ⇒ OM =r =R/2 =a;
SM =√(a² +(a√3)²)²  =√4a² =2a.
б) угол между боковой гранью и основанием  60°   т.к. OH =a; SH =2a⇒
<OSH =30° ,  <OHS =  90° - <OSH =90° -30° = 60° .
в) в)плоский угол при вершине пирамиды :
tqα/2 = (b/2)/SH=a√3/2a =√3/2 ⇒α =2arctg√3/2 .
Г) площадь полной поверхности пирамиды.
 R =b/√3 ⇔ 2a =b/√3⇒ b=2√3*a;
Sосн=b²√3/4 =3√3*a² ;
Sбок = 3*(b*SH/2) =3*(2√3*a *2a/2) =6√3*a²;
Sпол= Sосн +Sбок =   3√3*a² +6√3*a²=9a²√3;
3)  ΔSOA 
SA =√((SO)² +(AO)²)) ;
 AC =√((AB)² +(BC)²) =√(6² +8²) =√(36+64) =√100 =10. 
AO =OC =1/2*AC =5;
SA =√(12² +5²) =√(144+25) =√169 =13.