Обчисліть площу фігури обмеженою параболою у=х²-4х+5 та прямою 5-х

Ищем границы интегрирования:
х² -4х +5 = 5 - х
х² -3х = 0
х(х - 3) = 0
х = 0  или   х = 3
S1 = ₀∫³ (5 - x)dx = (5x - x²/2) | в пределах от 0 до 3 =
=15 - 9/2 = 15 - 4,5 = 10,5 (это площадь фигуры, ограниченная прямой у=5 - х)
S₂ = ₀∫³ (x² - 4x +5)dx = x³/3 -4x²/2 +5x | в пределах от 0 до 3=
= 27/3 - 18 + 15 = 9 -18 +15 = 6 ( это площадь, ограниченная параболой у = х² -4х +5 )
S фиг. = 10,5 - 6 = 4,5

Обозначим трапецию АВСД, с большим основанием АД. Тогда опустим из угла С высоту СК к этому основанию. Получим треугольник СКД. Это равнобедренный треугольник,т.к угол СКД 90 градусов, а СДК 45(соответственно, другой угол тоже 45) Сторона СК=АВ=9см (т.к получается,что это стороны прямоугольника АВСК. Соответственно, сторона КД=СК=9см(тк треугольник равнобедренный). Сторона АД=23 см, а КД=9 см, тогда найдем длину АК: 23-9=14 см. Вернемся к прямоугольнику АВСК, в котором ВС=АК=14см. При этом, сторона ВС является меньшим основанием трапеции.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения  диагоналей - центр  ромба и она делит высоту ромба так же пополам. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, катеты относятся как 3:4, значит треугольник Пифагоров (или египетский) и отношение  сторон в нем равно 3:4:5. Пусть коэффициент отношения равен Х. Тогда по свойству высоты из прямого угла в этом треугольнике имеем: 12 = 3х*4х/5х =>  х = 5см.

Половины диагоналей равны 3х = 15см и 4х=20см, а диагонали, соответственно, равны d=30см и D=40см.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S = 30*40/2 = 600см².