Втрапеции abcd с основаниями ab и cd диагонали ac и bd пересекаются в точке о, причем треугольник boc равносторонний. известно, что ав = 5, cd = 3. найдите длину стороны bc.

Ситуация с чертежом в данной задаче нетипичная для школы, т.к. боковые стороны трапеции имеют "однобокий уклон" (это не термин).
Т.к. при пересечении диагоналей АC и BD в точке О образовался равносторонний Δ ВОС, то у него все углы по 60°. Следовательно, ∠АОB = 120° (смежный с ∠ВОС=60°).
ΔCOD и ΔAOB подобны по двум углам (отмечены дугами на рисунке).
Запишем отношение сходственных сторон:

Обозначим CB=CO=OB=a.

Отсюда 
В Δ АОВ по теореме косинусов АВ² = АО² + ОВ² - 2АО·ОВ·cos∠O.






ответ: 

1) Диагонали параллелограмма равны. НЕВЕРНО

Диагонали равны только у разновидностей параллелограмма : у прямоугольника и квадрата.

2) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. ВЕРНО

3) В прямоугольной трапеции ровно один прямой угол. НЕВЕРНО

Боковая сторона, которая образует прямой угол с одним основанием трапеции, является перпендикуляром к двум параллельным основаниям, значит, она образует прямой угол со вторым основанием тоже. Всего в прямоугольной трапеции 2 прямых угла. Если в трапеции будет 4 прямых угла, то это будет прямоугольник.

4) Сумма углов четырёхугольника равна 360°. ВЕРНО

Б) 12 см

Допустим, у нас четырехугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат ABCD. Высота - SO. Точка O - точка пересечения диагоналей.

1. Основание - квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле 
, где d-диагональ.

см

2. Диагонали в квадрате равны и точкой пересечения делятся пополам - OA=OB=OC=OD. Находим любой из перечисленных отрезков. 
10/2=5 см

3. Рассмотрим треугольник SOC - прямоугольный, т.к. SO - высота.
Мы знаем боковую грань (гипотенуза) и катет (половина диагонали). Можем найти второй катет, т.е. высоту.
По теореме Пифагора:
SC²=SO²+OC²
13²=SO²+5²
SO²=169-25
SO²=144
SO=12 см