Высота проведенная к основе равнобедренного треугольника равна 10см а к боковой стороне 12 см. найти стороны треугольника и его площадь.

Обозначим х - боковая сторона, у - основание, тогда используя площадь, получим, что 10у=12х
у=1,2х
далее по т. Пифагора
x^2-(y:2)^2=100
подставляем, имеем
x^2-0,36x^2=100
x=12,5  -боковая сторона
у=1,2*12,5=15  -основание
S=15*10:2=75 cм^2

В треуг.АВС проведем медианы( они же высоты) АК,СD,ВР
Рассмотрим треуг. АСК -прямоугольный,т.как АК-медиана и высота
АК делит сторону ВС пополам.
ВС=ВК+КС
ВК=КС=3:2=1,5 - катет
АС=3 - гипотенуза
Находим катет АК (теор.Пифагора):
АК2=АС2 - КС2
АК2=3*3 - 1,5*1,5
АК=корень из 6,75
АК=2,598
Точка О - центр пересечения медиан и делит медианы в отношении 2:1,начиная от вершины: АО:ОК=2:1
АО+ОК=3(части) - составляют 2,598
АО=2части, АО=2,598:3*2=1,732
Рассмотрим треуг.АОМ
ОМ-перпендикуляр,значит треуг.АОМ-прямоугольный
АО и ОМ - катеты, АМ - гипотенуза и расстояние от точки М до вершины А треуг.АВС
Находим АМ(теор.Пифагора):
АМ2=АО2+ОМ2
Ом=1;АО=1,732;
АМ2=1*1+1,732*1,732
АМ=корень из 4
АМ=2
Точка О - центр пересечения медиан и ,значит, О-центр описанной около треуг.АВС окружности.АО=ОС=ОВ - радиусы.Значит, точка М равноудалена от вершин треугольника АВС.Поэтому

<ABE = <CBE ;  BD =CD ;  AD⊥ BE ; AD =BE =104.

BC =a ==>? , AC =b  ==>? , AB =c ==>?

Точка пересечения  AD и  BE обозначаем  через O .
Биссектриса  BO  одновременно и высота , значит ΔABD  равнобедренный (BD =AB) :
 BD =BC/2 =AB⇒BC=2AB⇔ a =2c.
CE/EA =BC/AB = 2;
EA =x ; CE=2x ; AC =b=3x .
Можно использовать формулы для  вычисления медиан и биссектрис :
a² + ( 2AD)²=2(c² +b²)        (1)  ; 
BE² =AB*BC - AE*EC       (2)  .

(2*104)² =2(c² +(3x)²) -(2c)²     * * * * *    a =2c    * * * * *
104² = c*2c - x*2x .         * * * * *  c² =x² +5408  = x² +26²*8 * * * * *  

(2*104)² =18x² -2c²  ;  
104² = -2x² +2c² .      * * * * *  суммируем    * * * * *  
(4x)² =(2*104)² +104² ;
4x =104√5;
x =26√5 .
AC =3x =3*26√5 =78√5 . 
c² =(26√5)² +26²*8 ;
c =26√13.
a =2c =52√13.
 
ответ:   BC =52√13 ; AC =78√5  ;  AB =26√5 .