Пусть треугольник авс подобен треугольнику а1в1с1 и отношение сходственных сторон этих треугольников равно 7: 5. найти их площади, если s abc на 36м2 больше s a1b1c1. в ответе должно быть: 73, 5м2, 37, 5м2.

Пусть площадь треугольника АВС - S1, а площадь треугольника
A1B1C1 - S2.
Площади подобных треугольников относятся, как квадрат коэффициента подобия. То есть S1/S2=49/25. S1-S2=36м², отсюда S1=36+S2.
Тогда 25*(36+S2)=49*S2 или 900+25*S2=49*S2, отсюда S2=900/24=37.5м²
S1=S2+36=37,5+36=73,5м².
ответ: Sabc=73,5м²,  Sa1b1c1=37,5м².

Найти длину третьей стороны треугольника можно, воспользовавшись теоремой косинусов. Данная геометрическая теорема звучит следующим образом: квадрат одной из сторон треугольника равен значению, получаемому при вычитании удвоенного произведения длины известных сторон и косинуса угла, который расположен между ними, из суммы квадратов длины известных сторон.
a^2 = b^2 + c^2 -2 ab* cosC
a^2 = 6^2 + 10^2 - 2 * 6 * 10 * cos 120= 136 - 120* cos120 =136 - 98 = 38
извлекаем квадратный корень
а = 6,2 см третья сторона треугольника

Обозначим:
- точку касания окружностью стороны АВ точкой К,
- точки пересечения осью окружности, перпендикулярной стороне АС, со стороной АС за точку Р, со стороной АВ за точку Е.
Центр О окружности лежит на перпендикуляре, проведенном к середине отрезка MN.
Отрезок АР = 8+((30-8)/2) = 8 + 11 = 19.

Решение основано на теореме касательной и секущей.
 Касательная АК=√(8*30)=√240 =  15.49193.
 Отрезок касательной КЕ (до оси окружности) равен АЕ-АК= 19 / cosA- 15.49193 = 19 /  0.968246 -15.49193 =  19.62312 - 15.4919 =  4.131182.
Радиус равен этой величине, делённой на тангенс угла КОЕ (он равен углу А). 
Тангенс угла КОЕ равен:
tg KOE = tg(A) = sin(A) / cos(A) = √(1-cos²(A)) / cos(A) =
= √(1 - (15/16)) / (√15/4) = (1/4) / (√15/4) = 1/√15 =  0.258199.
Тогда R = 4.131182 /  0.258199 = 16.