Вокружности с центром о проведены две равные хорды ав и сd. докажите, что углы оав и оdс равны.

чертеж во вложении.

рассмотрим треугольники аов и сод. у них

1) ав=сд (по условию)

2) оа=ов=ос=од - радиусы.

значит треугольники равны по трем сторонам.

кроме того, эти треугольники равнобедренные. у них углы при основании равны : а=в и с=д.

из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов.

поэтому углы оав и одс равны.

доказано!

Достаточно доказать, что треугольники равны между собой. построим треугольники со сторонами квс и к1в1с1, так, что кс=ав+ас= к1с1, к ик1 на продолжении са и с! а1, соответственно. эти треугольниеи равны по двум сторонам и углу между ними. из середины кв возведем перпендикуляр  до пересечения с ас в точке м. также из середины к1в1 до м1. треугольники  кмв и к! м1в1 , очевидно равнобедренные и равны между собой. значит ав=а1в1 и ас=кс-ав=к1с1-а1в1=а1с1. значит ∆аbс = ∆а1б1bс1 по трем сторонам. значит и соответствующие медианы равны между собой.

Полупериметр авс p = (16+20+24)/2 = 30 см площадь по формуле герона s² = 30*(30-16)(30-20)(30-24) s² = 30*14*10*8 s = 60√7 см² площадь через высоту к стороне 16 s = 1/2*16*ch = 60√7 2*ch = 15√7 ch = 15/2*√7 см hb по пифагору из треугольника chb hb² + ch² = cb² hb² = 24² -  (15/2*√7)² = 576 - 225/4*7 = 729/4 hb = 27/2 cm медиана сд делит сторону ав пропорционально сторонам ас и вс ад/ас = вд/вс (16-вд)/20 =вд/24 (16-вд)/5 =вд/6 6*(16-вд) =5*вд 96 - 6*вд = 5*вд 96 = 11*вд вд = 96/11 см нд = нв - вд нд = 27/2 - 96/11 = 105/22 cm по пифагору из треугольника снд сд² = сн² + нд² сд² = (15/2*√7)² + (105/22)² сд² = 225/4*7 + 11025/484 сд² = 50400/121 cд = 60√14/11 угол между биссектрисой сд угла асв и биссектрисой сщ внешнего угла всж равен 90° треугольники есд и снд прямоугольные и подобные - угол д общий, ещё один угол прямой. ед/сд = сд/нд ед = сд²/нд ед = 50400/121 /  (105/22) = 960/11 см