Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по одному равному углу

Их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол. 
Это утверждение легко доказывается из формулы: 
S треугольника = 0,5*a*b*sin угла между ними, где a и b - стороны треугольника, заключающие этот угол. 
S1=0,5*a1*b1*синус угла. 
S2=0,5*a2*b2*синус угла. 
Разделим первое выражение на второе. 
синусы сократятся, т. к. углы равны. , 0,5 также сократится. 
получаем: 

Выясним, о каком многоугольнике речь.
Из каждой вершины выпуклого n-угольника можно провести диагонали во все вершины , кроме 2-х смежных и самой себя, т.е. n-3 диагонали.
Однако, любая диагональ из А в С есть одновременно и диагональ из С в А. Поэтому, у выпуклого n-угольника число диагоналей d=n·(n-3)/2.
В то же время, по условиям задачи, у нашего многоугольника d=3n.
Решаем уравнение: 3n=n·(n-3)/2;  6n=n²-3n;  9n=n²; n=9
Таким образом, речь идет о 9-угольнике.
Поскольку правильный n-угольник можно представить, как n смыкающихся треугольников с общей вершиной, сумма всех внутренних углов правильного n-угольника равна n·180°-360°.
В данном случае, для 9-угольника: 9·180°-360°=1260°

Дано: δ авс∠с = 90°ак - биссектр.ак = 18 смкм = 9 смнайти: ∠акврешение.      т.к. расстояние от точки  измеряется по перпендикуляру, то опустим его из (·) к  на гипотенузу ав и обозначим это расстояние км.      рассмотрим полученный δ акм, т.к. ∠амк = 90°,то ак гипотенуза, а км - катет. поскольку, исходя из условия, катет км = 9/18 = 1/2 ак, то ∠кам = 30°.        т.к. по условию ак - биссектриса, то ∠сак =∠кам = 30°      рассмотрим δакс. по условию ∠аск = 90°; а∠сак = 30°, значит, ∠акс = 180° - 90° - 30° = 60°      искомый ∠акв - смежный с ∠акс, значит, ∠акв = 180° - ∠акс = 180° - 60° = 120°  ответ: 120°