Даны точки a(1; -3)b(8; 0)c(4; 8) d(-3; 5)покажите что четырехугольник abcdявляется параллелограммом

Дано
A(1;-3) B(8;0) C(4;8) D(-3;5)
решение
координаты вектора       модуль длины вектора = длина стороны
AB (8-1;0-(-3)) = (7;3)     AB=√7^2+3^2 =√58
DC (4-(-3);8-5) = (7;-3)    DC=√7^2+3^2 =√58
BC (4-8;8-0)    = (-4;8)    BC=√(-4)^2+8^2 =√80
AD (-3-1;5-(-3))= (-4;8)    AD=√(-4)^2+8^2 =√80
AB=DC ; BC=AD
3-ый признак параллелограмма
Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм. 

Начертим трапецию АВСD, проведём среднюю линию и обозначим её НК, проведём диагональ АС, точку пересечения средней линий и диагонали пусть будет О. Решение: Треуг-к АНО подобен тр-ку АВС по первому признаку подобия тр-ков (угол А - общий, угол НОА= углу ВСА как соответственные углы при параллельных прямых ВС и НК), следовательно  АН = НО = АО                                                                                                             АВ    ВС    АС
АВ=2АН, т.к НК-средняя линия трапеции, поэтому 
АН  = НО     
2АН    ВС

1 = 3
2   ВС             ВС=6
ответ: ВС=6 см

Расстояние от точки до прямой ( здесь - до  ребра двугранного угла) - перпендикуляр. 
Следовательно, перпендикуляр из точки А=6 см к ребру двугранного угла параллелен перпендикуляру из точки В=10 см к ребру того же двугранного угла.  
Расстояние от точки до плоскости -  длина перпендикулярного к ней отрезка. 
Следовательно, перпендикуляр из  точки В  к плоскости параллелен перпендикуляру из точки А к плоскости. 
 Острые углы у ребра в получившихся прямоугольных треугольниках  оба равны линейному углу двугранного угла. 
Если в прямоугольных треугольниках есть по равному острому углу, эти треугольники подобны. 
Из подобия следует отношение: 
6:10=х:7,5 
10х=45 
х=4,5 см