С! в тетраэдре abcd плоскости abc и abd перпендикулярны, а также известны углы ∠cab=45∘ и ∠dab=45∘. найдите градусную меру угла между прямыми ac и ad.

ответ.

ΔАВС , О - центр вписанной окружности , ∠АОВ = 140° .

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов .

Обозначим  ∠А=2α  ,  ∠В=2β  ,  ∠С=2ω .

Тогда ∠САО=∠ВАО=α  ,  ∠АВО=∠СВО=β  ,  ∠АСО=∠ВСО=ω  .

Сумма углов треугольника равна 180° , поэтому

∠А+∠В+∠С=2α+2β+2ω=180°   ⇒    α+β+ω=90°  ,  α+β=90°-ω  (*)

Из  ΔАОВ имеем:   ∠АОВ+α+β=180°  ,   140°+α+β=180°  ,  

α+β=180°-∠АОВ=180°-140°=40°    (**)  

Приравняем правые части равенств (*)  и  (**) .        

90°-ω=40°

90°-40°=ω

ω=50°

2ω=100°

∠АСВ=100°

∠ACB = 100°

Объяснение:

На рисунку точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Знайдіть кут ACB, якщо кут AOB дорівнює 140°

Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис.Розв'язання

Нехай АВС - даний трикутник. ∠AOB=140°. Знайдемо ∠ACB.

1) Так як суму кутів трикутника дорівнює 180°, то в ΔAOB:

∠ОАВ+∠ОВА=180°-∠АОВ=180°-140°=40°

2) Так як  O — центр вписаного кола трикутника ABC, то АО і ВО - бісектриси кутів САВ і СВА відповідно. Отже за означенням бісектриси кута трикутника маємо:

∠САВ=2·∠ОАВ

∠СВА=2·∠ОВА

Тоді їх сума:

3) У ΔАВС за теоремою про суму кутів трикутника знайдемо кут АСВ:

∠АСВ=180°-(∠САВ+∠СВА)=180°-80°= 100°

Відповідь: А. 100°