Решите с дано одно основание трапеции в 2 раза больше другого, а средняя линия равна 9 см. найдите основания трапеции.

Дано:
а, b - основания трапеции
а=2b
с - средняя линия трапеции
с=9 см

Найти: а, b

Решение:
Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований:

Используя условие а=2b, получим:


ответ: 12 см и 6 см

Внешняя точка - C, центр большой окружности - O
пусть K - точка касания маленькой окружности и описанной в условии фигуры;
ok ∩ mn = L
проведем через неё касательную к обеим окружностям, пусть точки пересечения ей сторон угла MCN A и B.
OK ⊥ AB по св-у касательной
OK ⊥ MN, тк ol - биссектриса равнобедренного треугольника mon (равенство углов следует из равенства треугольников cmo и cno)
таким образом ab || mn
значит Δabc ~ Δamn по двум углам и Δabc - равносторонний (∠cmn =  = ∠mnc = ∠cab = ∠cba = 60 (угол между касательной и хордой равен половине дуги заключенной между ними))
большая окружность - вневписанная для Δabc
=> cn = cm = полупериметру
пусть сторона abc = a
тогда cm = 1.5a
ca / cm = 2 / 3
mn по теореме косинусов из Δmon = 18√3
ab = 2 mn / 3 = 12√3 = a
осталось найти радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник abc со стороной 12√3
S = p * r = a²√3 / 4
r = a^2 √3 / (4 * 1.5a) = a * √3 / 6 =   12 * 3 / 6 = 6
Длина окружности с радиусом 6 = 2π * 6 = 12π
ответ: 12π

АВ=ВС, АВ - диаметр окружности. Окружность пересекает стороны АС и ВС в точках М и Н соответственно. ВН=7 см, МС=3 см.
Построим отрезки ВМ и АН, которые пересекаются в точке К.
∠ВМА=∠ВНА=90° так как они вписанные в окружность и опираются на дугу в 180°. 
В равнобедренном тр-ке АВС ВМ⊥АС, значит АМ=МС ⇒ АС=2МС=6 см.
Тр-ки АНС и ВМС подобны т.к. ∠С - общий и оба прямоугольные.
Пусть НС=х, ВС=ВН+НС=7+х.
ВС/МС=АС/НС,
(7+х)/3=6/х,
7х+х²=18,
х²+7х-18=0,
х>0, значит х≠-9, х=2.
НС=2 см,
АВ=ВС=7+2=9 см - это ответ.