Высота и медиана прямоугольного треугольника разделили гипотенузу на части, одна из которых равна полусумме двух других. найти отношения катетов

Отрезок ВМ (точно так же, как и отрезок АМ) не может быть равен полусумме двух других отрезков гипотенузы, так как МН+НА=ВМ и АМ=ВМ(СМ - медиана).  (смотрим рисунок)
Следовательно, нас интересует два возможных варианта:
МН=(ВМ+НА)/2 (1) и НА=(ВМ+МН)/2 (2).
Мы знаем, что катет ВС=√(АВ*ВН) и АС=√(АВ*НА) (вытекает из свойства высоты, проведенной из прямого угла на гипотенузу).
Тогда отношение катетов АС/ВС=√[(АВ*НА)/(АВ*ВН)] или АС/ВС=√(НА/ВН).
Итак, нам надо найти это отношение.
1). Пусть МН=(ВМ+НА)/2. Но МН=МА-НА или МН=ВМ-НА (так как ВМ=МА).
Отсюда (ВМ+НА)/2=ВМ-НА или 2ВМ-2НА=ВМ+НА или ВМ=3НА.
Тогда АВ=6НА (АВ=2*ВМ), а ВН=5НА (ВН=АВ-НА).
Искомое отношение АС/ВС=√(НА/5НА)=1/√5 или АС/ВС=√5/5.
2). Пусть НА=(ВМ+МН)/2. ВМ+МН=ВС. То есть НА=ВС/2.
Искомое отношение АС/ВС=√(ВС/2ВС)=1/√2 или АС/ВС=√2/2.
ответ: отношение катетов может быть равным
АС/ВС=√5/5 или АС/ВС=√2/2.

Угол с равен 120 градусов и треугольник авс равнобедренный, то углы а и в равны между собой и равны 30 градусам (сумма углов треугольника равна 180 градусов)  высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, получается, что ан = вн = 6см  косинус угла в 30 градусов равен корню из 3/2  косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе, т. е. вн / вс = корень из 3/2  зная вн, можем найти вс (гипотенузу)  вс = 6 / (корень из 3 / 2) (под корнем только 3)  по теореме пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т. е. вс2 = вн2 + сн2  зная вс и вн, можем найти сн (собственно, высоту)  сн2 = вс2 - вн2  сн2 = (6 / (корень из 3 / 2))2 - (6 в квадрате)  сн2 = (12 / корень из 3)2 - 36  сн2 = 144/3 - 36  сн2 = 48 - 36  сн2 = 12  сн = корень из 12

Если прямая (DC),  параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость  проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC).
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. 
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²