Ввыпуклом четырехугольнике abcd диагональ ac является биссектрисой угла dab и пересекает диагональ bd в точке k. найдите bc, если известно, что ak=24, kc=3 и около четырехугольника можно описать окружность

∠ВАС = ∠DAC так как АС биссектриса
∠DBC = ∠DAC как вписанные, опирающиеся на одну дугу.
⇒ ∠ВАС = ∠DBC
ΔВАС подобен ΔКВС по двум углам (∠С - общий, ∠ВАС = ∠КBC) ⇒
АС/ВС = ВС/КС
ВС² = АС · КС = 27 · 3 = 81
ВС = 9

32 cм³ или 8√2 см³

Объяснение:

Обозначим:

сторону основания призмы а - ?

высоту призмы h - ?

Диагональ основания призмы d = a√2

Диагональ призмы D = √(d² + h²) = √(2a² + h²) = 6см

Тогда 2а² + h² = 36     (1)

Площадь боковой поверхности призмы 4аh = 32    (2)

Из (2) получим а = 8/h    (3)

Подставим (3) в (1) и получим

2 · 64/h² + h² = 36

128 + h⁴ = 36h²

h⁴ - 36h² + 128 = 0

Замена t = h²

t² - 36t + 128 = 0

D = 1296 - 512 = 784

√D = 28

t₁ = (36 - 28)/2 = 4

t₂ = (36 + 28)/2 = 32

Тогда h₁ = 2(cм) и h₂ = 4√2(см)

а₁ = 8/2 = 4(см) и а₂ = 8 : 4√2 = √2(см)

В 1-м случае объём призмы V = a² · h = 16 · 2 = 32(cм³)

Во 2-м случае V = a² · h = 2 · 4√2 = 8√2(cм³)

По теореме косинусов
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos (гамма)
15^2 = 12^2 + b^2 - 2*12*b*cos(120) = 12^2 + b^2 - 24b*(-1/2)
225 = 144 + b^2 + 12b
b^2 + 12b - 81 = 0
D/4 = 6^2 + 81 = 36 + 81 = 117 = (3√13)^2
b = -6 + 3√13 = 3√13 - 6 ~ 4,81 
По теореме синусов
a/sin(альфа) = b/sin(бета) = c/sin(гамма)
sin(гамма) = sin(120) = √3/2
c/sin(гамма) = 15 / (√3/2) = 15*2/√3 = 30√3/3 = 10√3
sin(альфа) = a / (c/sin(гамма)) = 12 / (10√3) = 
= 12√3/(10*3) = 2√3/5 ~ 0,6928; 
альфа ~ 43,85 градуса 
sin(бета) = b / (c/sin(гамма)) = (3√13 - 6) / (10√3) = 
= (3√13 - 6)*√3 / (10*3) = (√13 - 2)*√3 / 10 ~ 0,278; 
бета ~ 16,15 градусов