Треугольники abc и adc расположены по одну сторону от прямой ac. известно, что ab=cd, ad=cb, k-середина bd. докажите, что треугольник akc-равнобедренный.

Ab=Ab bc =dc k серед ина общая соответственно треугольник АКС равнобедренный

Обозначим треугольник АВС, где ВС-основание треугольника, точка пересечения высоты и основания пусть будет D. Из точки D проведем перпендикуляр на АВ. Обозначим точку пересечения К.Треугольник АКD-прямоугольный, причем по условию АК=0,5 Н. Против угла в 30° в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит угол АDR=30°, тогда угол DАК =90°-30°=60° Рассмотрим треугольник АDВ, в нем угол АВD=30° ВD=Н/tg30°=3H/√3 Так как треугольник АВС равнобедренный, то СВ=2ВD=3H/√3
S=1/2СВ*Н=6H^2/(2√3)=H^2√3

Дано: ΔАВС, AB=BC, АС=а, <A=<C=α, АК -медиана
найти: АК
решение.
АК найдем из ΔАКВ по теореме косинусов.
1. пусть АВ=ВС=b
ВМ_|_АС
рассмотрим ΔАМВ: АВ=b, AM=a/2, <A=α
cosα=(a/2)/b, b=(a/2)/cosα, b=a/(2cosα).
2. AK -медиана, ⇒ВК=КС=b/2, BК=a/(4cosα)
3. ΔAKB: по теореме косинусов
AK²=AB²+BK²-2AB*BK*cos<B, <B=180-2α
AK²=(a/2cosα)²+(a/4cosα)²-2(a/2cosα)*(a/4cosα)*cos(180-2α)
AK²=a²/4cos²α+a²/16cos²α+(a² * cos2α)/4cos²α
AK²=(a²/4cos²2α)*(1+1/4+cos2α)
AK²=(a²/4cos²α)*(5+4cos2α)/4
AK²=(a²/16cos²α)*(5+4cos2α)
AK=(a/4cosα)*√(5+4cos2α)
АК=a√(5+4cos2α)/(4cosα)
преобразуем подкоренное выражение по формуле косинус двойного аргумента:
5+4cos2α+5+4*(2cos²α-1)=5+8cos²α-4=8cos²α+1
AK=(a/4cosα)*(√8cos²α+1)
ответ: медиана, проведенная к боковой стороне:
AK=(a/4cosα)*√(8cos²α+1)

 2 вариант решения во вложении