Вариант 1. 1.диагонали прямоугольника abcd пересекаются в точке о, угол аво =36 градусов .найдите угол аоd. 2.найдите углы прямоугольной трапеции, если один из углов равен 20 градусов. 3.стороны параллелограмма относятся как 1: 2, а его периметр равен 30 см. найдите стороны параллелограмма. 4.в равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96 градусов. найдите углы трапеции. 5.высота вм, проведенная из вершины угла ромба авсd образует со стороной ав угол 30 градусов, ам = 4 см. найдите длину dиагонали вd ромба, если точка м лежит на стороне ад.

[1]Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, ∠АВО = 36°. Найдите ∠ АОD.

По свойству прямоугольника его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, при этом образуя две пары равных и равнобедренных треугольников ⇒ АО = СО = ВО = ОD ⇒ ΔAOB - равнобедренный, так как АО = ВО. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: ∠АВО = ∠ВАО = 36°

∠АОD = ∠ABO + ∠BAO = 2•∠ABO = 2•36° = 72°  - по свойству внешнего угла ∠АОD

ответ: 72°

[2]Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из углов равен 20°.

В прямоугольной трапеции присутствуют два прямых угла при одной боковой стороне, при другой - острый и тупой угол ⇒ ∠ADC = 20°, ∠ABC = 90° , ∠BAD = 90°. Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠BCD = 360° - 90° - 90° - 20° = 180° - 20° = 160°

ответ: 20° , 90° , 90° , 160°

[3]Стороны параллелограмма относятся как 1:2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма.

По свойству параллелограмма его противолежащие стороны попарно параллельны и равны ⇒ AB = CD , BC = AD

Пусть AB = x, тогда BC = 2x, составим уравнение:

P (abcd) = 2•(AB + BC)

30 = 2•(x + 2x)  ⇒  6x = 30  ⇒  x = 5 см

Значит, AB = CD = 5 см, BC = AD = 2•5 = 10 см

ответ: 5 см, 10 см, 5 см, 10 см

[4]В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции.

По свойству равнобедренной трапеции углы при его основаниях равны ⇒ ∠АВС = ∠BCD , ∠BAD = ∠CDA

По условию ∠BAD + ∠CDA = 96°  ⇒  2•∠BAD = 96°  ⇒  ∠BAD = ∠CDA = 48°

Сумма углов в четырёхугольнике составляет 360° ⇒ ∠ABC + ∠BCD = 360° - 48° - 48°  ⇒  ∠ABC + ∠BCD = 264°  ⇒ 2•∠ABC = 264°  ⇒  ∠ABC = ∠BCD = 132°

ответ: 48° , 48° , 132° , 132°

[5]Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD образует со стороной АВ угол в 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали ВD ромба, если точка М лежит на стороне АD.

В прямоугольном ΔАВМ: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы ⇒ АВ = 2•АМ = 2•4 = 8 см

Сумма углов в треугольнике составляет 180°:  ∠ВАМ = 180° - 90° - 30° = 60°

В ромбе все стороны равны: АВ = ВС = CD = AD = 8 см

ΔBAD - равнобедренный, так как AB = AD = 8 см. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: ∠ABD = ∠ADB = (180° - ∠BAD)/2 = (180° - 60°)/2 = 60° ⇒ ∠BAD = ∠ABD = ∠ADB = 60°

Значит, ΔABD - равносторонний,  AB = AD = BD = 8 см

ответ: 8 см

Биссектрисы углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне, пересекаются под прямым углом (так как эти углы в сумме равны 180°).
Прямоугольные треугольники АКН, ВКР, PLC и HLD равны, так как их острые углы равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущих ВН, АР, PD и CH соответственно). Значит равны и их высоты. Следовательно, KL параллельна AD и BC. Прямоугольные треугольники КРL и КНL также равны вышеуказанным треугольникам (так как KL параллельна AD и ВС), их высоты также равны и, как следствие, точки Р и Н (вершины треугольников КРL и КНL) лежат на сторонах ВС и АD соответственно.
В равных равнобедренных треугольниках АВР и PCD АВ=ВР=РС=СD.
Значит ВС=ВР+РС=2АВ=2СD, а AD (равная ВС) в 2 раза больше CD. 

Проведем диаметр и обозначим его AC . Проведем хорду и обозначим её BN. Точку пересечения хорды с диаметром обозначим буквой O.Соединим точку В хорды с концами диаметра А и В. У нас получилось два прямоугольных треугольника. AOB. и BOC. Примем отрезок АО =9см, а отрезок ОС=x. Тогда АС =9+x(это диаметр). Из треугольника АВС находим. ВС^2=АС^2-АВ^2: Из треугольника. ВОС ВС^2=ОВ^2+ОС^2 : Левые части равны значит АС^2 -АВ^2=ОВ^2+ОС^2. Подставляя значения получаем: (9+x)^2-(9^2+12^2)=12^2+x^2; 81+18x+x^2- 81 -144=144+x^2: 18x=288, x=16. AC =9+16=25. Радиус равняется АС/2=25/2 =12,5(см) ответ:12,5.