Диагональ трапеции, вписанной в круг, равен d. боковую сторону видно из центра описанной окружности под кутом 120. найдите среднюю линию трапеции

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника = 180°. 

Сумма углов, прилегающих к одной стороне трапеции = 180°,  следовательно, углы при основаниях вписанной трапеции равны. 

В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию 

Сделаем рисунок и обозначим вершины трапеции АВСД. 

ВС - меньшее основание. Центр окружности - О.

Угол ВДА опирается на ту же дугу, что центральный угол ВОА, равный по условию 120°.

Градусная мера вписанного угла вдвое меньше центрального. 

Угол ВДА=САД=60°   

Опустим из В высоту ВН. 

Высота равнобедренного треугольника делит основание на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, т.е. средней линии. 

НД= длине средней линии трапеции.  

В прямоугольном ∆ ВНД  угол НВД= 30°. 

Катет НД противолежит углу НВД, равному 30°. 

НД=ВД:2=0,5 d

сумма всех углов треугольника равна 180 градусам. у нас известны два угла из трех ( b = 60, c = 90 ). поэтому мы можем найти третий угол:

180 - 60 - 90 = 30 ( это угол a )

в есть следующая теорема:

"в прямоугольном треугольнике катет, лежайщий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы."

в данном треугольнике гипотенузой является ab (так как эта сторона лежит против угла в 90 градусов), катетами являются ac и cb.

из теоремы выше понятно, что ab = 2cb

известно, что ab + bc = 111

теперь выразим ab: ab = 111 - bc

теперь все это запишем в уравнение:

мы знаем, что ab можно выразить двумя способами: ab = 111 - bc и ab = 2cb

поэтому можно их прировнять

ab = ab

или

111 - bc = 2cb

111 = 3cb

cb = 111 / 3

так как ab = 2cb, ab = 2 * 111 / 3 = 74

6

если < 1 = < 2, то a || b (по свойств паралельности прямых

если < 2 + < 3 = 180°, то c || b (по тому - же свойству)

т. к. a || b и c || b, то a || c (по аксиоме паралельных прямых)

7

m || n || k (ничего доказывать не надо)

8 сам не знаю

9

т. к. a || b, то < 1 + < 2 = 180°

мы знаем, что < 1 больше < 2 в 2 раза. получаем уравнение, где 2x = < 1, x = < 2

2x + x = 180

3x = 180

x =60

< 2 = 60°, < 1 = 60° × 2 = 120°

остальные углы можно найти по свойству равенства углов и смежных углов