Вравнобедренную трапецию с боковой стороной 17см вписана окружность, диаметром 15см.найти длины оснований трапеции

Сумма длин оснований этой трапеции равна 17*2 = 34 см (свойство четырёхугольника, в который вписана окружность). 

Проекция боковой стороны трапеции на большее основание равна √(17 + 15)*(17 - 15) = 8 см. Тогда разность оснований равна 8*2 = 16 см.

Тогда большее основание равно (34 + 16) : 2 = 25 см, а меньшее 34 - 25 = 9 см.

ответ: 9 см и 25 см.

Отметим, что наименьший угол прямоугольной трапеции, это единственный острый угол. (на нашем рисунке это <D).
SinD=EP/HD => EP=DH*SinD.
SinD=GP/HC => GP=HC*SinD.
PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH).
Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD.
Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG.
Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4.
Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4.
Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD).
Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон").
В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD.
Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2.
По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD).
Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2.
ответ: острый угол D трапеции равен 30°.

1.

В тр-ках ABC и ACD опустим перпендикуляры на сторону AC. Очевидно, они упадудт в одну точку, т. к. тр-ки равнобедренные. Назовем эту точку H. В тр-ке BDH угол BDH - прямой (т. к. BD перпендикулярна плоскости ACD).

Найдем BH: в тр-ке ABC по т-ме Пифагора BH^2+6^2=4*21; BH=4*sqrt(3) //sqrt - это знак корня, т. е. 4 корня из трех.

Найдем AD: в тр-ке ADC по т-ме Пифагора 2*AD^2=12^2; AD=6*sqrt(2). //Не забываем, что AD=AC.

Найдем DH исходя из площади тр-ка ADC: DH*12=AD*AC; DH*12=36*2; DH=6.

В прямоугольном тр-ке BDH (угол BDH - прямой) гипотенуза равна 4*sqrt(3), а катет HD=6. Отсюда угол BHD=arccos(6/(4*sqrt(3))=arccos(sqrt(3)/2)=pi/6=30градусов.

ответ: 30 градусов.

2. Поступаем аналогично 1-й задаче: вначале опускаем перпендикуляры BH и DH на сторону AC.
Далее по т-ме Пифагора находим DH:

DH^2=6^2+61; DH=sqrt(97)
Далее по т-ме Пифагора находим BH:
BH^2=10^2+6^2; BH=2sqrt(34).

Отсюда по т-ме косинусов в тр-ке DBH считаем BD:

BD^2=(2sqrt(34)^2+sqrt(97)^2-2*2sqrt(34)*sqrt(97)*cos(60))=
BD^2=136+97-2*sqrt(3298)=233-2sqrt(3298).

Далее можно упростить при желании.

Проверьте на всякий случай арифметику.