Пусть abcd и defg-пар-м такие что точка d лежит на отрезке ag, точка e-на отрезке dc и при этом ab=dg=2ad=2de. пусть м-середина отрезка dg. докажите что cg-биссектриса угла mcf

AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD

AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD

CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG

четыр-ник ECFG - параллелограмм

CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGF

Значит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG

ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника

Поэтому CF=CM

Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P

ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам

DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DG

Значит, CM=MP, CD=PG

Рассмотрим ΔСPF:  CF=CM=MP,  PG=2*FG

FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2

Известное свойство биссектрисы:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

Это свойство работает и в обратную сторону.

Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.

№1.Дано :

Четырёхугольник MNKP - прямоугольник.

Отрезки MK и NP - диагонали.

Точка О - точка пересечения диагоналей.

∠MON = 64°.

Найти :

∠ОМР = ?

Решение :Диагонали прямоугольника равны между собой и, по свойству параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам.

Отсюда имеем, что -

Рассмотрим ΔМОР - равнобедренный (так как равны две стороны).

Причём МО и ОР - боковые стороны.

Углы у основания равнобедренного треугольника равны (они-то как раз и лежат против боковых сторон).

Поэтому -

∠ОМР = ∠ОРМ.

∠NOM - внешний для ΔМОР.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Отсюда -

∠NOM = ∠ОМР + ∠ОРМ

∠ОМР + ∠ОРМ = 64°

Учитывая равенство углов -

∠ОМР = 64° : 2 = 32°.

ответ :

32°.

№2.Дано :

Четырёхугольник ABCD - равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Один из углов больше другого на 30°.

Найти :

∠А = ?

∠В = ?

∠С = ?

∠D = ?

Решение :

Про какие именно углы идёт речь в задаче?

Дело в том, что -

Углы у основания равнобедренной трапеции равны (на рисунке выделены дугами).

Отсюда -

∠D не может быть больше ∠С на 30°, потому что они равны.

Аналогично и с ∠А и ∠В.

Возьмём ∠D за х, тогда остаётся что ∠А = х+30°.

Сумма внутренних углов любого четырёхугольника равна 360°.

Составляем уравнение и решаем его -

∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°

(х + 30°) + (х + 30°) + х + х = 360°

4х + 60° = 360°

4х = 300°

х = 75°.

∠А = х + 30° = 75° + 30° = 105°

∠В = х + 30° = 75° + 30° = 105°

∠С = х = 75°

∠D = х = 75°.

ответ :

105°, 105°, 75°, 75°.

№3.Дано :

Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.

Стороны АВ и ВС - смежные.

ВС : АВ = 3 : 1.

Р(ABCD) = 40 см.

Найти :

АВ = ?

ВС = ?

CD = ?

AD = ?

Решение :

Пусть АВ = х, тогда ВС = 3х.

Периметр параллелограмма равен удвоенно сумме его смежных сторон.

Отсюда -

Р(ABCD) = 2*(АВ + ВС)

40 см = 2*(х + 3х)

х + 3х = 20 см

4х = 20 см

х = 5 см.

АВ = х = 5 см

ВС = 3х = 3*5 см = 15 см.

Противоположные стороны параллелограмма равны.

Отсюда -

АВ = CD = 5 см

ВС = AD = 15 см.

ответ :

5 см, 15 см, 5 см, 15 см.

№4.Дано :

Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция.

Разность двух углов, прилежащих к боковой стороне = 48°.

Найти :

∠А = ?

∠В = ?

∠С = ?

∠D = ?

Решение :

∠А = ∠В = 90° (по определению прямоугольной трапеции).

Подмечу, что они действительно "прилегают" к боковой стороне. Но их разность не может быть равна 48°, так как они равны (90° - 90° = 0).

Поэтому, углы которые "прилегают" к боковой стороне CD точно должны давать в разности 48°.

Пусть ∠С = х (больший угол), а ∠D = у (меньший угол).

Сумма двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Составим систему и решим её -

1)

2)

∠C = x = 114°

∠D = y = 66°.

ответ :

90°, 90°, 114°, 66°.

Рассмотрим четырёхугольник АВСD, где АВ=500 м (направление на запад), ВС=300 м (направление на север), СD=100 м (направление на восток), угол В=90 градусов. Из точки D опустим перпендикуляр DЕ на АВ. Рассмотрим треугольник АЕD: угол Е=90 градусов, АЕ=АВ - ВЕ=500 -100=400, ДЕ=ВС=300. В прямоугольном треугольнике АЕD  АЕ и DЕ катеты, АD гипотенуза. Надо найти гипотенузу АD. Квадрат гипотенузы = сумме квадратов двух катетов=400 в квадрате+300 в квадрате=160000+90000=250000. АD=корень квадратный из 250000=500. Девочка оказалась от дома на расстоянии 500 метров.