Точки р, к, м и о -соответственно середины ребер а1с1, с1а1, ас и св треугольной призмы авса1в1с1. докажите что плоскости мс1о и арк параллельны.

В призме основания АВС и А1В1С1 равны, значит АС=А1С1.
АМ=МС, А1Р=РС1, значит МС=А1Р.
АА1С1С - параллелограмм, значит ∠АА1С1=∠АСС1.
АА1=СС1, МС=А1Р, ∠АА1С1=АСС1, значит тр-ки АА1Р и СС1М равны, значит АР=С1М., значит АРС1М - параллелограмм. АР║МС1.
В тр-ках АВС и А1В1С1 МО и РК - средние линии.
АВ║МО, А1В1║РК, АВ║А1В1, значит МО║РК.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

В плоскостях МС1О и АРК АР║МС1 и МО║РК, значит плоскости параллельны.
Доказано.

Поскольку наклонные, являющиеся расстояниями от М до сторон тр-ка, одинаковые, то и проекции их на плоскость треугольника одинаковые и равны радиусу вписанной в треугольник окружности.

r = √((р - а)(р - в)(р - с)/р

Пусть а = 25, в = 39, с = 56, тогда полупериметр

р = 0,5·(25 + 39 + 56) = 0,5·120 = 60

r = √((60 - 25)(60 - 39)(60 - 56)/60) = √(35·21·4/60 = √49 = 7

Растояние Н от точки М до плоскости тр-ка, радиус r  вписанной окружности и любая из наклонных L = 25 образуют прямоугольный тр-к с гипотенузой L.

По теореме Пифагора найдём Н

Н² = L² - r² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576

Н = 24(см)

 

Если точка равноудалена от осей координат, то ее координаты равны.

Эту точку можно рассматривать как центр окружности, которая проходит через точку с координатами (3 ; 6) и касается осей координат.
Уравнение окружности:
(x - x₀)² + (y - y₀)² = R²
здесь х и у - координаты любой точки окружности,
х₀ и у₀ - координаты центра (и координаты искомой точки),
R - радиус окружности.

Так искомая точка равноудалена от осей координат и окружность касается осей, то
x₀ = y₀ = R

Подставим в уравнение окружности вместо х и у данные координаты точки  (3 ; 6) и x₀ вместо у₀ и R:
(3 - x₀)² + (6 - x₀)² = x₀²
9 - 6x₀ + x₀² + 36 - 12x₀ + x₀² - x₀² = 0
x₀² - 18x₀ + 45 = 0
x₀ = 3  или  x₀ = 15   по теореме Виета

Оба значения подходят (иллюстрация второго случая - на втором рисунке), значит координаты искомой точки
(3 ; 3)  или  (15 ; 15)