Ab=fm, ac=em, угол bac=угул fme. найдите bc делить на ef.

ΔABK = ΔCBK ( BK-общая , ∠ABK =∠CBK , ∠AKB =∠CKB =90°) .
⇒ AB = CB  ,  ∠BAK =∠BCK  ,  AK=CK . 
∠CAB= ∠ACE   как накрест лежащие углы ( AB | | CE) .
∠CAB = ∠CAE =(1/2)*∠BAE (по условию AC - биссектриса угла  BAE).
∠ACE =∠CAE ⇒ AE =CE , медиана EK одновременно  и биссектриса и  высота  (⇒точки  B, K , E расположены на одной линии). 
Треугольник  ABE равнобедренный ,т.к.  в нем биссектриса AK одновременно и  высота (ΔAKB = ΔAKE) . AB =AE. 
Окончательно: CE=AE =AB=BC. ABCD _ромб. 

1)
 рисунок во вложении
АД=ДС (усл), тогда треуг АДС р/б, тогда углы при основании равны, тогда уг ДСА = уг ДАС = уг ВАД = 20 град, поскольку АД биссектриса.
Тогда уг АДС = 180 - 20 - 20 =  140
уг АВС = 180 - 20 - 20 - 20 = 120 град

2)
рисунок во вложениях 
Равн = АВ + ВН + АН = 15, 
тогда АВ + АН = 10, поскольку НВ = 5 по усл

поскольку НВ и медиана и высота, то треуг АВМ р/б, 
тогда АВ = ВМ
треуг АВН = треуг МВН (по трем сторонам), тогда 
АВ + АН = ВМ + НМ = 10, тогда 
Равм =  АВ + АН + ВМ + НМ = 10 + 10 = 20 см

ABCD_ромб ,AB=BC=CD=DA =c ; ∠ABC  =2α >90° ;BP⊥(ABCD)  ;PB =p.

d(P,AC) -?
Пусть O точка пересечения диагоналей ромба AC и BD   (O=[AC] ⋂ [BD] ).                       Соединяем точка O с точкой  P. BO проекция наклонной PO  на плоскости ромба. 
По теореме трех перпендикуляров заключаем ,  что  PO ⊥AC (AC⊥ BO⇒AC⊥ BO). Значит PO и есть расстояние от точки P до диагонали  AC,  т.е.   PO =d(P,AC).
Из прямоугольного треугольника (диагонали ромба перпендикулярны)  AOB:
BO =AB*cos(∠ABO) =c*cosα   (∠ABO=(∠ABC)/2 =2α/2=α , диагонали ромба являются биссектрисами углов) . 
Из прямоугольного треугольника  PBO (BP⊥(ABCD)⇒BP⊥ BO) по теореме Пифагора:
PO =√(PB² +BO²) =√(p² +(c*cosα)²) .

ответ: √(p² +(c*cosα)²) .