Втреугольнике mkp угол m равен углу p.периметр треугольника равен 108 дм., kh - высот.найдите стороны треугольника, если mk: mh=7 : 2

Це буде рівнобедрений трикутник 
Нехай 7х - МК
2х-МН
Складемо рівняння
(2х+7х)*2=108
9х*2=108
9х=108/2
9х=54
х=54/9
х=6
Отже 2*6=12 дм МН
7*6=42дм МК

Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E. 

Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1

————

АBCD- прямоугольник. ⇒

AFCB - прямоугольная трапеция.  Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований  на высоту. 

S=0,5•(FC+AB)•BC

СF следует найти. 

Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно. 

АК=ОК=ОТ=ТА=R

Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК

КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1

ЕН=ВК=АВ-R=32-R

По т.Пифагора из ∆ ОЕН

R²=(32-R)²+(R-1)²⇒

R²-66 R+1024=0  Решив квадратное уравнение, получим два корня:

R1=41;  R2=25

Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ,  и будет касаться не АВ, а её продолжения. 

R=ОЕ=25

Проведем ОМ перпендикулярно СD. 

Основание СF=CM+MF

CM=BK=AB-R=7

MF=√(OF²-OM²)

OM=AD-R=40-25=15

MF=√(25²-15²)=20

CF=20+7=27

S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне BC. 
Известно что BC = 11. Найдите сторону AB
–––––––––––
Обозначим среднюю линию КМ. 
По свойству средней линии  КМ=ВС:2=11:2=5,5
 ВКМС - описанный вокруг окружности четырехугольник. 
Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны            ( свойство). ⇒
КВ+МС=КМ+ВС
 КВ+МС=5,5+11=16,5 
 К и М делят АВ и АС пополам, ⇒
АВ=2₽•KB
АC-2•MC
АВ+АС=2•(КВ+МС)=33
Пусть АВ=х, тогда АС=33-х 
Периметр ∆ АВС=АВ+АС+ВС=33+11=44

Формула Герона для вычисления площади треугольника:
       –––––––––––––––––
S=√[р(р-АВ)(р-АС)(р-ВС)] где р - полупериметр

р=44:2=22⇒
         ––––––––––––––––––––––
66=√[22•(22-х){22-(33-x)}(22-11)    Выведем из-под корня 11:
6•11=11√[2•(22-x)(x-11)]
Сократим обе части на 11 и возведем их в квадрат:
36=2•(22-х)•(x-11) ⇒
x²-33 x+260=0
Решив квадратное уравнение, получим два корня: х₁=20;  х₂=13. 
Оба коря подходят.
Для данного в приложении рисунка АВ=13 ( а АС=20). Если поменять местами В и С, АВ будет равно 20.