Прямая параллельная основаниям трапеции abcd , пересекает ее боковые стороны ab и cd в точках e и f соответственно. найдите отношение отрезков cf : df , если ad=15 , вc=12, ef=21

Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения в точке О ( см. рисунок)
Треугольники ОВС и ОАD подобны ( ВС|| AD)
Обозначим ОС=у
СF=4x,  FD=x
Из подобия пропорциональность сторон:
ОС: ОD= BC: AD
у: (у+4х+х)=20:45
Перемножаем крайние и средние члены пропорции:
45у=20(у+5х)
25у=100х
у=4х
Треугольники ОЕF  и ОAD  подобны ( EF|| AD)
Из подобия пропорциональность сторон:
ОF:OD=EF:AD
8x:9x=EF:45
EF=45·8 : 9=40
ответ EF=40 cм

Первый
Найдем острые углы треугольника, они равны, т.к. треугольник равнобедренный:
180-120 = 60
60:2 = 30
проведем высоту к хорде.
малый треугольник - прямоугольник.
Катет, лежащий напротив угла в 30, равен 1\2 гипотенузы:
0,8м = 80см
80:2 = 40см

Найдем второй катет по т.Пифагора:
√(80²-40²) = √(6400 - 1600) = √4800 = √3*16*100 = 40√3
Найдем хорду: 40√3*2 = 80√3.
Второй
Найдем острые углы треугольника, они равны, т.к. треугольник равнобедренный:
180-120 = 60
60:2 = 30

По теореме синусов: b\sinb = c\sinc
b = c*sinb/sinс
b = 80*√3/2*2 = 80√3
 

1) Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра. радиус основания которого равен 4. а высота 5.                                                   Найти объем параллелепипеда

Все грани прямоугольного параллелепипеда -прямоугольники. Основания вписанного цилиндра - окружности, вписанные в основания параллелепипеда, а его высота является и высотой параллелепипеда. 

Если в прямоугольник вписана окружность - этот прямоугольник - квадрат. 

Стороны основания параллелепипеда равны диаметру оснований цилиндра. 

а=2r=8

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трех измерений. 

V=S*H=8*8*5=320 (единиц объема)

----------------------

2) Радиус основания конуса равен 15, расстояние от центра до образующей равно 12. Найти площадь боковой поверхности конуса.

формула площади боковой поверхности конуса

S=πRL

Расстояние от центра основания до образующей - в данном случае высота прямоугольного треугольника ВОС, образованного высотой ВО  конуса, радиусом ОС и образующей ВС (она же гипотенуза треугольника ОВС)

∆ ОНС - египетский ( отношение катета и гипотенузц 3:5). Значит, НС=9 ( можно найти по т.Пифагора)

ОС - катет ∆ ОВС. 

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. 

. ОС²=ВС*НС

225=ВС*9

ВС=225:9=25

S=π*15*25=375 (ед. площади)

-----------------------------

В ΔABC: AC=BC=13, sin ∠A=12/13.  Hайти АВ

СН- высота ∆ АВС

АВ=2 АН

АН=АС*cos A

cos A=√(1-(12/13)² )=5/13

AH=5

АВ=5*2=10