Найти косинус a, треугольник abc a(3; 9) b(0; 6) c(4; 2)

AB²=(0-3)²+(6-9)²=9+9=18
AB=3√2
BC²=(4-0)²+(2-6)²=16+16=32
BC=4√2
AC²=(4-3)²+(2-9)²=1+49=50
AC=5√2
cosA=(AB²+AC²-BC²)/2AB*AC=(18+50-32)/2*3√2*5√2=36/60=6/10=0,6

AB=√[(0-3)²+(6-9)²]=√(9+9)=√18=3√2
BC=√[(4-0)²+(2-6)²]=√(16+16)=√32=4√2
AC=√[(4-3)²+(2-9)²]=√(1+49)=√50=5√2
BC²=AB²+AC²-2*AB*AC*cosA
cosA= (AB²+AC²-BC²)/(2*AB*AC) = (18+50-32)/(2*3√2*5√2) = 36/60=3/5

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла. Биссектриса - геом. место точек, равноудаленных от сторон угла. Если окружность касается сторон угла, ее центр удален от сторон угла на радиус, следовательно лежит на биссектрисе угла.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра.

Если требуется док-во через треугольники, то проводим радиусы в точки касания, образованные треугольники равны по общей гипотенузе и катетам, острые углы равны.

1 )  один угол 90 градусов

 значит, сумма двух других 90 градусов

 пусть один угол = х, тогда 

2х+60 = 90

х = 15

 т.е. один угол 15 градусов, другой 75 градусов

2) внутренний угол = 180-140= 40 градусам, значит и втрой угол при основании 40 градусов

третий угол = 180-40-40 = 100 градусов

3)  если внешний угол 135 градусов, то внутренний = 180-135 = 45 градусов

если внешний угол 160 градусов, то внутренний = 180-160 = 20 градусов

третий угол = 180-45-20 = 115 

он больше, чем 90 градусов => треугольник тупоугольный