Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов – 16 см. найти радиус окружности, вписанной в треугольник.

Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник 
r=(a+b-c):2, где а и b – катеты, с - гипотенуза. 
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. равна её половине. 
Следовательно, с=17•2=34 см 
По т.Пифагора второй катет равен 30 (  отношение сторон этого треугольника из Пифагоровых троек 8:17:15, можно и не вычислять)⇒ 
r=(30+16-34):2=6 см

Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,

AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.

Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:

AB^2=AH^2+BH^2, звідси

Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).

Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.

У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.

Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.

Тоді у рівнобічній трапеції:

HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.

Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:

P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.

Відповідь: 48 см – В.

Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.

Визначити площу трапеції.

Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції

У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).

Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).

Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.

У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.

Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).

Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.

Знайдемо площу прямокутної трапеції:

Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2

Відповідь: 3/2•a^2 – Д.

Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.

Знайти основу BC, якщо AD=14 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.

Розглянемо трикутники AOD і COB.

В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.

∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.

Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).

З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто

звідси

Отже, BC=7 см – основа трапеції.

Відповідь: 7 см – В.

Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.

Знайдіть площу трапеції.

Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд

Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:

AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).

Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.

∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.

Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).

З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто

звідси

Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).

Отже, MN=MO+ON=5+6=11 см.

Знайдемо площу трапеції:

Відповідь: 242 см2 – Г.

Нехай задано рівнобічну трапецію ABCD, основи паралельні AD||BC, сторони AB=CD рівні між собою, BH⊥AD, де BH=12 см – висота трапеції, опущена на сторону AD,

AH=5 см, HD=11 см, звідси AD=AH+HD=5+11=16 см.

Розглянемо прямокутний трикутник ABH (∠AHB=90) та знайдемо за формулою Піфагора гіпотенузу AB:

AB^2=AH^2+BH^2, звідси

Оскільки трапеція ABCD – рівнобічна, то відповіні сторони рівні CD=AB=13 см.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тоді кут прямий CK⊥AD (∠CKD=90).

Розглянемо прямокутні трикутники ABH і KCD.

У них ∠BAH=∠CKD – як кути при основі AD у рівнобічній трапеції ABCD (за властивістю), і CD=AB=13 см.

Тому, за ознакою рівності прямокутних трикутників, трикутники ABH і KCD рівні (за гіпотенузою і гострим кутом), звідси слідує AH=KD=5 см.

Тоді у рівнобічній трапеції:

HK=HD-KD=11-5=6 см, тому BC=HK=6 см.

Знайдемо периметр рівнобічної трапеції ABCD:

P=AB+BC+CD+AD=13+6+13+6=48 см.

Відповідь: 48 см – В.

Приклад 32.12 Дві менші сторони прямокутної трапеції дорівнюють a, а один з її кутів – 450.

Визначити площу трапеції.

Обчислення: Наведемо рисунок прямокутної трапеції

У трапецію ABCD відомо: AD||BC, AB⊥AD, AB=BC=a – менші сторони трапеції, ∠ADC=45 (як єдиний гострий кут прямокутної трапеції).

Оскільки бічна сторона перпендикулярна до основи AB⊥AD, то AB=a – висота прямокутної трапеції.

Опустимо ще одну висоту CK на сторону AD, тобто CK⊥AD (∠CKD=90).

Очевидно, що вона також рівна заданій стороні CK=AB=a.

У прямокутному трикутнику KCD (∠CKD=90, ∠CDK=45), тому ∠DCK=45 (за сумою кутів трикутника), і робимо висновок,що трикутник ΔKCD – рівнобедрений.

Тобто, CK=DK=a (тут AK=BC=a як протилежні сторони квадрата ABCK).

Звідси AD=AK+KD=a+a=2a.

Знайдемо площу прямокутної трапеції:

Цю площу можна було знайти в легший б, розписавши як суму площ квадрата S[ABCK]=a^2 і прямокутного трикутника S[kcd]=a^2/2

Відповідь: 3/2•a^2 – Д.

Приклад 32.15 Точка O, яка є перетином діагоналей трапеції ABCD (AD||BC), ділить діагональ AC на відрізки AO=8 см і AC=4 см.

Знайти основу BC, якщо AD=14 см.

Обчислення: Нехай маємо трапецію ABCD, AD||BC, AD=14 см, AC=4 см, AO=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O.

Розглянемо трикутники AOD і COB.

В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.

∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.

Звідси слідує, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).

З цього слідує, що їх відповідні сторони пропорційні, тобто

звідси

Отже, BC=7 см – основа трапеції.

Відповідь: 7 см – В.

Приклад 32.16 Менша основа трапеції дорівнює 20 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 5 і 6 см.

Знайдіть площу трапеції.

Обчислення: До умови задано рисунок, який має вигляд

Для трапеції записуємо все що на момент прочитання умови відомо:

AD||BC, BC=20 см, MO=5 см, ON=8 см, де AC і BD – діагоналі трапеції ABCD, які перетинаються в точці O, MO та ON – відстані від точки O до основ трапеції BC і AD, відповідно (тобто MO⊥BC, ON⊥AD).

Розглянемо трикутники AOD і COB. В них ∠AOD=∠COB як вертикальні.

∠OAD=∠OCB і ∠ADO=∠ CBO як внутрішні різносторонні кути при перетині січною AC паралельних прямих AD і BC.

Звідси робимо висновок, що ΔAOD~ΔCOB (тобто трикутники подібні за трьома кутами).

З цього слідує, що їх відповідні сторони (а значить і висоти MO та ON цих трикутників) пропорційні, тобто

звідси

Оскільки MO⊥BC, ON⊥AD, то MN⊥AD (або MN⊥BC), звідси слідує, що MN – висота трапеції (тобто точки M, O і N лежать на одній прямій).

Отже, MN=MO+ON=5+6=11 см.

Знайдемо площу трапеції:

Відповідь: 242 см2 – Г.