Через вершину a прямоугольника abcd проведена наклонная am к плоскоcти прямоугольника, составляющая углы α со cторонами ad и ab. найдите синус угла между этой наклонной и плоскоcтью прямоугольника. возможный ответ: √2sin²α-1

Раз углы равны - то можно рассмотреть квадрат авсд со стороной а . и прямоугольный параллелепипепед. А...D1 с высотой h .
тогда по условию тр. АС1В
sin a = √(a^2+h^2)/a. = С1В/АВ
sin^2 a* a^2= a^2+h^2
h/a= √(sin^2 a-1).
a найти нужно CC1/AC
sin b = h/√2a = √((sin^2 a-1)/2)

АВСД - квадрат, ∠МАД=∠МАВ=α, МН⊥АВСД, значит Н∈АС.
МК⊥АД.
Пусть АМ=х.
В тр-ке АМК АК=АМ·cosα=xcosα.
НК⊥АД, ∠НАК=45°, значит АН=АК√2=х√2·cosα.
В тр-ке АМН cos∠МАН=cosβ=АН/АМ=(х√2·cosα)/2=√2·cosα.
sin²β=1-cos²β=1-2cos²α=1-2(1-sin²α)=2sin²α-1.
Итак, sinβ=√(1-2cos²α)=√(2sin²α-1) - это ответ (на выбор))

1)Cумма четырех углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна 360°.
Поскольку сумма трех их них равна 320°, на четвертый остается:
360°-320°=40°
Смежный с ним равен 180°-40°=140°
ответ: Две пары вертикальных углов. Одна пара по  40°, вторая по  140°. 

2) Пусть один из данных вертикальных углов х.
С каждым из этих вертикальных смежный угол составляет 180°, и равен 180°-х
Тогда сумма двух вертикальных х+х=2х,
и это в 4 раза меньше, чем 180-х
4*2х=180°-х
9х=180°
х=20° ( каждый из данных вертикальных) 
Их сумма 40°, а смежный с каждым из них 180°-20°=160° 
160°:40°=4 ( смежный больше суммы в 4 раза)

3) Сумма углов при пересечении двух прямых 360°
Пусть четвертый угол равен х°
Тогда сумма остальных трех 
х+260°
Сумма всех четырех углов
х+(х+260)=360°
2х=100°
х=50°( вертикальный с ним тоже 50°)
Смежные с ними углы равны 180°-50°=130°
ответ. 2 угла по 50°, 2 угла по 130°

1. Пусть х - один из вертикальных углов, тогда угол, смежный с ним 180° - х, так как сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы равны, тогда 2х - сумма двух вертикальных углов.

Получаем уравнение:

2x + 30° = 180° - x

3x = 150°

x = 50°

ответ: каждый из двух вертикальных углов равен 50°.

2. Пусть х - один из углов, тогда угол, смежный с ним 180° - х, так как сумма смежных углов равна 180°.

Получаем уравнение:

1/8 x + 3/4 (180° - x) = 90° |· 8

x + 6 (180° - x) = 720°

x + 1080° - 6x = 720°

5x = 360°

x = 72° - один из смежных углов.

180° - 72° = 108° - второй угол.

Разность данных углов:

108° - 72° = 36°

ответ: 36°.

3. ∠1 + ∠2 + ∠3 - ∠4 = 280° по условию задачи.

∠1 = ∠3 и ∠2 = ∠4 как вертикальные, значит

2 · ∠1 = 280°

∠1 = 140°

∠3 = ∠1 = 140°

∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40°, так как ∠2 и ∠1 смежные, а сумма смежных углов равна 180°.

∠4 = ∠2 = 40°

ответ: 40°, 40°, 140°, 140°.