Вромбе abcd из вершины тупого угла d к стороне bc проведена перпендикуляр dk.bk=4 см, kc=6см.вычислите площадь ромба abcd (в см^2)

Стороны ромба равны по 10 см.
ΔСDК - прямоугольный По теореме Пифагора DК²=100-36=64.
DК=8 см.
Площадь ромба S= ВС·DК=10·8=80 см².
ответ: 80 см²

1. При пересечении двух прямых образуются два смежных и два вертикальных угла. Сумма смежных равна 180 радусов, значит 150 - это сумма вертикальных. Вертикальные углы равны, значит каждый угол равен 150:2=75. 

2. Биссектриса делит угол пополам. Значит угол АВК=АВС:2= 130:2=65. 

3. Нам даны смежные углы, потому что один больше другого. Пусть меньший угол равен х, тогда больший угол 8х. сумма двух углов х+8х, а по теореме о смежных углах 180. Уравнение: 
х+8х=180 
9х=180 
х= 180:9 
х=20, тогда 8х=8*20=160 
ответ: При пересечении двух прямых образовались два угла по 20 градусов и два угла по 160 градусов каждый. 

4. Угол в 120 градусов будет смежным. Поэтому угол образованный биссектрисой равен 180-120=60. Он же является половиной угла, который просят найти, значит искомый угол равен 60*2=120.

Во-первых, нужно вспомнить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой. Во-вторых, то, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. 
Примем за Х угол при основании равнобедренного треугольника. Отличным от этого угла может быть только угол при вершине треугольника. Предположим, что угол при вершине меньше на 24 градуса чем угол при основании. Т.е. угол при вершине = Х-24. С учетом того, что было отмечено вначале, можно записать уравнение Х + Х + (Х-24) = 180. Отсюда 3Х = 204 И Х =204/3 = 68. За Х приняли угол при основании, значит при вершине угол =Х-24 = 68 - 24 = 44 градуса. Следовательно, углы в этом треугольнике 68; 68 и 44 градуса. 
Но ведь угол при вершине может быть и больше чем углы при основании. Тогда угол при вершине треугольника будет = Х+24. В этом случае нужное нам уравнение будет иметь вид Х + Х + (Х+24) = 180. Или 3Х = 156.  Х=156/3 = 52. Тогда угол при вершине  = Х+24 = 52 + 24 = 76 градусов. И углы в таком треугольнике 52; 52 и 76 градусов.
 Так что, как видите, при заданном условии (если Вы ни чего не упустили) задача имеет два решения.